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¿Cuántos dígitos de Pi conocían los antiguos egipcios?

¿Cuántos dígitos de Pi conocían los antiguos egipcios?

Por el "Papiro de Rhind" del 1600 a. C. sabemos que los egipcios tenían una estimación de pi, a saber, 3,16, lo que significa que sólo conocían 2 dígitos de pi. Según este artículo, sabían más dígitos, al menos 4 dígitos de pi. Alrededor del 200 a. C., Arquímedes estimó pi en 22/7, que son 3 dígitos de pi. Esto indica que los egipcios conocían más dígitos 2000 años antes de Arquímedes, sin embargo, no me queda claro cuántos dígitos realmente conocían.

http://www.bcamt.ca/wp-content/uploads/2015/03/Yochim.pdf


Los antiguos egipcios de la época del Papiro Rhind no tenían realmente el concepto de Pi. El método que describieron para encontrar el área de un círculo era inscribirlo dentro de un cuadrado y aplicar la proporción de 64/81 al área dentro del cuadrado. Sin embargo, hoy sabemos que esto es matemáticamente equivalente a usar un Pi de 256/81. Eso es un cabello más pequeño que 3.1605, lo que en la página de la línea de tiempo de Wikipedia equivale a tener un decimal.

Los antiguos babilonios e indios aproximadamente al mismo tiempo tenían sus propias heurísticas que funcionaban con un Pi de 3 + 1/8 y 25/8 respectivamente, o 3,125 (exactamente). Eso estuvo un poco más cerca, pero también con una precisión de solo un decimal. Se sabe que nadie más ha establecido ampliamente una estimación significativamente mejor hasta los 2 lugares decimales de Arquímedes casi 2000 años después.

El documento que vinculó está haciendo varias especulaciones y extrapolando de ellas. No quiero darle poca importancia al tipo: son especulaciones fascinantes. Encuentro particularmente convincente la idea de los constructores de pirámides girando alrededor de una rueda nido para trazar las cuatro esquinas. Pero en su base, ese artículo es solo mucha especulación personal y diversión matemática, construido alrededor de un núcleo de hechos históricos y matemáticos. Por supuesto, es muy posible ser utilizando Pi sin saberlo; eso es exactamente lo que habrían estado haciendo nuestros usuarios de ruedas nido.

Hubo un egiptólogo que argumentó ya en 1940 que los egipcios también usaban 22/7, pero ese argumento no parece ser ampliamente aceptado en la actualidad. No estoy seguro de si sus argumentos coinciden con el artículo que vinculó.


El último dígito de Pi

[Esta es una transcripción aproximada de mi charla TEDxNYED, pronunciada el 6 de marzo de 2010 en la ciudad de Nueva York en la Collegiate School. TEDxNYED fue una conferencia de todo el día & # 8220 que examinó el papel de los nuevos medios y la tecnología en la configuración del futuro de la educación. & # 8221 Para un meta-post sobre la experiencia de dar una charla TED (x), lea & # 8220Academic Theatre (Reflexiones sobre TED y TEDxNYED). & # 8221 Lo que realmente dije e hice en TEDxNYED se desvió de esta transcripción. Me involucré directamente con la audiencia un par de veces, una por diversión y otra para obtener sus ideas sobre el tema. Publicaré el video cuando esté disponible.]

Quiero contarles una historia sobre un reino olvidado de la educación y el conocimiento. Es un cuento con moraleja, una parábola de lo que sucede cuando el mundo cambia, cuando se desafía la tradición.

Hasta hace relativamente poco tiempo en la historia de la humanidad, pi era la solución más buscada para lo que durante mucho tiempo se llamó la "rectificación" o "cuadratura" del círculo, palabras sofisticadas que se simbolizan más fácilmente en el diagrama de esta diapositiva. ¿Cómo puedes transformar ese círculo en el cuadrado superpuesto? Un lado del cuadrado sería un cuarto de pi si el diámetro del círculo es 1.

Pi fue un número codiciado durante miles de años, imbuido de propiedades mágicas. Generaciones de eruditos lo persiguieron tenazmente, a menudo considerándolo el todo y el fin de la geometría.

Este es un pi — pi diferente como lo conocemos los modernos:

Bueno, no todo, como estoy seguro de que sabes. Son solo los primeros 200 dígitos aproximadamente. El número se alarga para siempre. Espero que no esperabas que revelara el último dígito real de pi. Porque no hay uno. Extraño, ¿no?

Pi no siempre fue tan extraño. Los antiguos egipcios lo sabían mejor, fijando la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo en 4 sobre 3 a la cuarta potencia. Eso es considerablemente más definido y, por lo tanto, mucho más sensato.

Arquímedes lo sabía mejor, centrándose en el valor de pi entre un par de fracciones muy cercanas.

Si usted es un literalista bíblico, pi parecería ser 3, ya que la Biblia describe claramente que 30 codos abarcan un círculo de 10 codos de diámetro.

Y las soluciones siguieron llegando. Desde antiguos matemáticos y filósofos, hasta eruditos medievales, hasta el Renacimiento y la Ilustración. Todo el mundo parecía capaz de encontrar, con suficiente esfuerzo, el valor exacto de pi. Cuadrar el círculo fue un esfuerzo de genio en una ciencia antigua perfectamente descrita hace siglos por Euclides.

Pero algo cambió radicalmente en el siglo XVIII, justo después del libro de la derecha de Joubert de la Rue. Algunos matemáticos comenzaron a tomarse más en serio la persistente sensación de que pi no tenía una solución perfecta como fracción mágica. Después de todo, puede que no tenga un último dígito. Este número crítico en el centro de las matemáticas podría, de hecho, ser irracional. Un matemático comenzó a reconceptualizar pi.

Y ahí está: el apuesto matemático suizo alemán Johann Heinrich Lambert:

Era hijo de un sastre, obviamente, y en su mayoría fue autodidacta en matemáticas. Su brillante trabajo en la década de 1760 demostró que π / 4 no podía ser un número racional (nunca se podía calcular exactamente el valor de un lado de ese cuadrado) y, por lo tanto, pi también era irracional. Después de Lambert, los libros de texto de matemáticas declararon que el asunto estaba resuelto.

Así es, problema resuelto & # 8230

Excepto & # 8230. La cuadratura del círculo continuó. El mundo de las matemáticas había cambiado con los descubrimientos del siglo XVIII, pero de alguna manera el mensaje no llegó a mucha gente. John Parker, a la izquierda, propuso mi solución favorita personal: pi es precisamente 20612/6561. Algunos cuadriculados, como James Smith a la derecha, se burlaron de la prueba de Lambert como obra de un diletante.

Entonces, las cosas se pusieron tensas entre los nuevos matemáticos y los que se aferraban a la visión anterior de pi. El registro de esta guerra es tan informativo como divertido. En las décadas de 1860 y 70, James Smith se enfrentó a Augustus De Morgan, un profesor de matemáticas en Londres, en una serie de breves panfletos, que eran el equivalente victoriano de Twitter.

Pero, como era de esperar, los castigos de los profesores de matemáticas no detuvieron a los que cuadran los círculos. Sus soluciones siguieron llegando, incluso frente a las críticas, incluso después de que se demostró que pi era trascendental, lo que significa que ni siquiera podía ser la raíz de algún otro número o ecuación. Mi libro favorito de principios del siglo XX tenía este subtítulo en la portada: & # 8220 El gran problema que ha desconcertado a los más grandes filósofos y las mentes más brillantes de los tiempos antiguos y modernos ahora ha sido resuelto por un humilde ciudadano estadounidense de la ciudad de Brooklyn. & # 8221

Ahora, es fácil reírse de estos cuadradores de círculos equivocados, especialmente cuando son de Brooklyn. Pero si lees seriamente los cuadrados de círculos y te paras a pensar en ello, no son tan diferentes de ti o de mí. Incluso en nuestros tiempos de conocimiento, todos persistimos en hacer cosas que otros han abandonado hace mucho tiempo como absurdas o pasadas de moda.

La historia nos dice que la gente, lamentablemente, no es muy buena para ver lo nuevo y, en cambio, es muy buena para mantener el pasado a toda costa. Esto es particularmente cierto en la educación: Euclides Elementos, escrito hace más de 2.000 años, seguía siendo un libro de texto estándar de matemáticas hasta bien entrado el siglo XIX, a pesar de los importantes avances matemáticos.

Por lo tanto, vale la pena detenerse a pensar en el último dígito de pi. ¿Por qué tantos continuaron persiguiendo pi como se concibió tradicionalmente, y por qué se resistieron a las nuevas matemáticas?

Piense por un momento en la distinción entre el pi antiguo y el nuevo. Lo viejo era perfecto, simple, ordenado, divino lo nuevo, aparentemente impreciso, prosaico, caótico, humano. Entonces, la historia de pi es la historia y la psicología de lo que sucede cuando lo complejo y lo nuevo intenta superar lo simple y lo tradicional.

Está sucediendo a nuestro alrededor en la era digital. Estamos reemplazando lo que se ha percibido como perfecto y ordenado por lo aparentemente impreciso y caótico.

Mire lo que ha sucedido, por ejemplo, en la última década con Wikipedia y la angustia por el destino de la Enciclopedia tradicional.

O los periódicos frente a las nuevas formas de periodismo, como los blogs. Un ex estadístico del béisbol, Nate Silver de FiveThirtyEight.com, ¿puede decidir descaradamente analizar las elecciones y la economía mejor que la mayoría de los periódicos? Sí, de hecho.

Ahora bien, esta audiencia, a la altura del lado derecho de estas pantallas, puede querer ser tan cruel como Augustus De Morgan con los que todavía están a la izquierda. Es posible que queramos dejar atrás los modernos cuadrados de círculos, y sin duda algunos de ellos se quedarán atrás. Pero para la mayoría que está inquieta y atrapada entre lo viejo y lo nuevo, necesitamos otros métodos para convencerlos y cambiar el status quo. La historia nos dice que no basta con decir que la gente está ciega al futuro. Tenemos que mostrar con precisión cuáles son las debilidades de los viejos & # 8230

& # 8230y tenemos que mostrar cómo lo nuevo funciona mejor que lo viejo.

Conocer pi correctamente hasta el décimo dígito es de gran ayuda para predecir con precisión los movimientos de los cuerpos celestes. Intente utilizar el 3 1/8 de James Smith al trazar el arco de un planeta o luna. Para algunos físicos, conocer pi con precisión hasta el dígito 40 es fundamental.

Además, este pi moderno puede ser extraño, pero su propia extrañeza abrió nuevas vías de investigación y pensamiento que eran intelectualmente tan desafiantes y gratificantes como cuadrar el círculo. La naturaleza trascendental de pi llevó a los matemáticos a reflexionar sobre secuencias infinitas de fracciones y tuvo un impacto en la teoría del caos. En informática, idear algoritmos para alcanzar mil millones o billones de dígitos de pi lo más rápido posible avanzó en el campo. Y, si aún desea que se resuelva un problema sin resolver, vea si puede averiguar si pi es lo que se llama un "número normal", donde la distribución de los dígitos 0-9 es uniforme & # 8230

& # 8230o hay en cambio una preponderancia de ochos. Ese es un problema difícil, relacionado con problemas reales de las matemáticas modernas. Entonces todavía quedan problemas por resolver, problemas más avanzados. Las matemáticas no terminaron con el final del antiguo pi, simplemente se movieron en direcciones nuevas y más interesantes.

Pero para llegar a ese punto, los matemáticos tuvieron que mostrar de manera comprensible cómo el nuevo pi creaba un nuevo orden.


Contenido

Las aproximaciones más conocidas de π que datan de antes de la Era Común tenían una precisión de dos decimales; esto se mejoró en las matemáticas chinas en particular a mediados del primer milenio, con una precisión de siete decimales. Después de esto, no se hicieron más avances hasta finales del período medieval.

Algunos egiptólogos [4] han afirmado que los antiguos egipcios usaban una aproximación de π como 22 ⁄ 7 = 3,142857 (aproximadamente un 0,04% demasiado alto) desde el Reino Antiguo. [5] Esta afirmación ha recibido escepticismo. [6] [7]

En el siglo V d.C., π se conocía en aproximadamente siete dígitos en las matemáticas chinas y en aproximadamente cinco dígitos en las matemáticas indias. No se hicieron más progresos durante casi un milenio, hasta el siglo XIV, cuando el matemático y astrónomo indio Madhava de Sangamagrama, fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala, descubrió la serie infinita para π, ahora conocida como serie Madhava-Leibniz, [21] [22] y dio dos métodos para calcular el valor de π. Uno de estos métodos es obtener una serie que converge rápidamente transformando la serie infinita original de π. Al hacerlo, obtuvo la serie infinita

y usó los primeros 21 términos para calcular una aproximación de π correcta a 11 lugares decimales como 3.141 592 653 59.

El otro método que usó fue agregar un término restante a la serie original de π. Usó el término restante

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), un astrónomo y matemático persa, calculó correctamente de 2 π a 9 dígitos sexagesimales en 1424. [23] Esta cifra equivale a 17 dígitos decimales como

Logró este nivel de precisión al calcular el perímetro de un polígono regular con 3 × 2 28 lados. [24]

En la segunda mitad del siglo XVI, el matemático francés François Viète descubrió un producto infinito que convergía en π conocido como fórmula de Viète.

El matemático germano-holandés Ludolph van Ceulen (hacia 1600) calculó los primeros 35 lugares decimales de π con un 2 62 -gon. Estaba tan orgulloso de este logro que los hizo inscribir en su lápida. [25]

En Ciclometrico (1621), Willebrord Snellius demostró que el perímetro del polígono inscrito converge en la circunferencia dos veces más rápido que el perímetro del polígono circunscrito correspondiente. Esto fue probado por Christiaan Huygens en 1654. Snellius pudo obtener siete dígitos de π de un polígono de 96 lados. [26]

En 1789, el matemático esloveno Jurij Vega calculó los primeros 140 decimales para π, de los cuales los primeros 126 eran correctos [27] y mantuvo el récord mundial durante 52 años hasta 1841, cuando William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales el primero 152 estaban en lo cierto. Vega mejoró la fórmula de John Machin desde 1706 y su método todavía se menciona hoy. [ cita necesaria ]

La magnitud de tal precisión (152 lugares decimales) se puede poner en contexto por el hecho de que la circunferencia del objeto más grande conocido, el universo observable, se puede calcular a partir de su diámetro (93 mil millones de años luz) con una precisión de menos de una longitud de Planck (a 1.6162 × 10 −35 metros, la unidad de longitud más corta que tiene un significado real) usando π expresado con solo 62 lugares decimales. [28]

El matemático aficionado inglés William Shanks, un hombre de medios independientes, pasó más de 15 años calculando π con 607 decimales. Esto se logró en 1873, con los primeros 527 lugares correctos. [29] Calculaba nuevos dígitos toda la mañana y luego pasaba toda la tarde revisando su trabajo matutino. Esta fue la expansión más larga de π hasta el advenimiento de la computadora digital electrónica tres cuartos de siglo después. [ cita necesaria ]

En 1910, el matemático indio Srinivasa Ramanujan encontró varias series infinitas de π que convergen rápidamente, incluyendo

que calcula otros ocho lugares decimales de π con cada término de la serie. Sus series son ahora la base de los algoritmos más rápidos que se utilizan actualmente para calcular π. Véase también la serie Ramanujan – Sato.

Desde mediados del siglo XX en adelante, todos los cálculos de π se han realizado con la ayuda de calculadoras o computadoras.

En 1944, D. F. Ferguson, con la ayuda de una calculadora de mesa mecánica, descubrió que William Shanks había cometido un error en el lugar decimal 528 y que todos los dígitos siguientes eran incorrectos.

En los primeros años de la computadora, una expansión de π a 100 000 lugares decimales [30]: 78 fue calculada por el matemático de Maryland Daniel Shanks (sin relación con el mencionado William Shanks) y su equipo en el Laboratorio de Investigación Naval de los Estados Unidos. en Washington, DC En 1961, Shanks y su equipo utilizaron dos series de potencias diferentes para calcular los dígitos de π. Por un lado, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente alto, y por el otro, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente bajo. Y por lo tanto, siempre que las dos series produjeran los mismos dígitos, existía una confianza muy alta de que eran correctas. Los primeros 100 265 dígitos de π se publicaron en 1962. [30]: 80-99 Los autores describieron lo que se necesitaría para calcular π con 1 millón de lugares decimales y concluyeron que la tarea estaba más allá de la tecnología de ese día, pero sería posible en cinco a siete años. [30]: 78

En 1989, los hermanos Chudnovsky calcularon π en más de mil millones de lugares decimales en la supercomputadora IBM 3090 utilizando la siguiente variación de la serie infinita de π de Ramanujan:

Desde entonces, todos los registros se han logrado utilizando el algoritmo de Chudnovsky. En 1999, Yasumasa Kanada y su equipo en la Universidad de Tokio calcularon π a más de 200 mil millones de lugares decimales en la supercomputadora HITACHI SR8000 / MPP (128 nodos) usando otra variación de la serie infinita de π de Ramanujan. En noviembre de 2002, Yasumasa Kanada y un equipo de 9 personas más utilizaron el Hitachi SR8000, una supercomputadora de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, para calcular π a aproximadamente 1,24 billones de dígitos en unas 600 horas (25 días). En octubre de 2005, afirmaron haberlo calculado en 1,24 billones de lugares. [31]

En agosto de 2009, una supercomputadora japonesa llamada T2K Open Supercomputer duplicó con creces el récord anterior al calcular π a aproximadamente 2,6 billones de dígitos en aproximadamente 73 horas y 36 minutos.

En diciembre de 2009, Fabrice Bellard utilizó una computadora doméstica para calcular 2,7 billones de dígitos decimales de π. Los cálculos se realizaron en base 2 (binario), luego el resultado se convirtió a base 10 (decimal). Los pasos de cálculo, conversión y verificación tomaron un total de 131 días. [32]

En agosto de 2010, Shigeru Kondo usó el y-cruncher de Alexander Yee para calcular 5 billones de dígitos de π. Este fue el récord mundial para cualquier tipo de cálculo, pero significativamente se realizó en una computadora doméstica construida por Kondo. [33] El cálculo se realizó entre el 4 de mayo y el 3 de agosto, y las verificaciones primaria y secundaria tardaron 64 y 66 horas, respectivamente. [34]

En octubre de 2011, Shigeru Kondo rompió su propio récord al calcular diez billones (10 13) y cincuenta dígitos utilizando el mismo método pero con mejor hardware. [35] [36]

En diciembre de 2013, Kondo rompió su propio récord por segunda vez cuando calculó 12,1 billones de dígitos de π. [37]

En octubre de 2014, Sandon Van Ness, con el seudónimo de "houkouonchi", utilizó y-cruncher para calcular 13,3 billones de dígitos de π. [38]

En noviembre de 2016, Peter Trueb y sus patrocinadores calcularon en y-cruncher y verificaron completamente 22,4 billones de dígitos de π (22,459,157,718,361 (π e × 10 12)). [39] El cálculo tardó (con tres interrupciones) 105 días en completarse, [38] la limitación de una mayor expansión es principalmente el espacio de almacenamiento. [37]

En marzo de 2019, Emma Haruka Iwao, empleada de Google, calculó 31,4 billones de dígitos de pi utilizando máquinas y-cruncher y Google Cloud. Esto tardó 121 días en completarse. [40]

En enero de 2020, Timothy Mullican anunció el cálculo de 50 billones de dígitos durante 303 días. [41] [42]

Son notables los textos legales o históricos que supuestamente "definen π" para tener algún valor racional, como el "Indiana Pi Bill" de 1897, que decía que "la relación entre el diámetro y la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro" (que implicaría " π = 3.2 ") y un pasaje de la Biblia hebrea que implica que π = 3 .

Proyecto de ley de Indiana Editar

El llamado "Proyecto de Ley Indiana Pi" de 1897 se ha caracterizado a menudo como un intento de "legislar el valor del Pi". Más bien, el proyecto de ley trataba de una supuesta solución al problema de "cuadrar el círculo" geométricamente. [46]

Valor bíblico imputado Editar

A veces se afirma que la Biblia hebrea implica que "π es igual a tres", según un pasaje de 1 Reyes 7:23 y 2 Crónicas 4: 2 que indica que la palangana redonda ubicada frente al templo en Jerusalén tiene un diámetro. de 10 codos y una circunferencia de 30 codos.

El tema se discute en el Talmud y en la literatura rabínica. [47] Entre las muchas explicaciones y comentarios se encuentran estos:

    explicó esto en su Mishnat ha-Middot (el texto hebreo más antiguo conocido sobre geometría, ca. 150 d.C.) al decir que el diámetro se midió a partir del fuera de borde mientras que la circunferencia se midió a lo largo del interno borde. Esta interpretación implica un borde de aproximadamente 0.225 codos (o, asumiendo un "codo" de 18 pulgadas, unas 4 pulgadas), o un "palmo de palmas" y un tercio de espesor (cf. NKJV y NKJV). establece (ca. 1168 EC) que π solo se puede conocer aproximadamente, por lo que el valor 3 se dio como lo suficientemente preciso para fines religiosos. Algunos [48] toman esto como la primera afirmación de que π es irracional.
  • Otra explicación rabínica [¿por quién?] [año necesario] invoca gematria: En la NKJV, la palabra traducida como 'línea de medición' aparece en el texto hebreo escrito KAVEH קַוה, pero en otros lugares la palabra generalmente se escribe KAV קַו. La razón de los valores numéricos de estas grafías hebreas es
  • 111 ⁄ 106. Si el valor putativo de 3 se multiplica por esta relación, se obtiene
  • 333 ⁄ 106 = 3,141509433. - dando 4 dígitos decimales correctos, que está dentro
  • 1 ⁄ 10,000 del valor real de π.

Todavía hay cierto debate sobre este pasaje en la erudición bíblica. [ verificación fallida ] [49] [50] Muchas reconstrucciones de la palangana muestran un borde más ancho (o labio ensanchado) que se extiende varias pulgadas hacia afuera desde la propia taza para coincidir con la descripción dada en NKJV [51] En los versículos siguientes, el borde se describe como "un palmo de grosor y su borde fue labrado como el borde de una copa, como la flor de un lirio; recibió y aguantó tres mil baños" NKJV, lo que sugiere una forma que se puede abarcar con una cuerda más corta que la longitud total del borde, por ejemplo, una flor de Lilium o una taza de té.

Aproximación de polígono a un círculo Editar

Arquímedes, en su Medida de un círculo, creó el primer algoritmo para el cálculo de π basado en la idea de que el perímetro de cualquier polígono (convexo) inscrito en un círculo es menor que la circunferencia del círculo, que, a su vez, es menor que el perímetro de cualquier polígono circunscrito . Comenzó con hexágonos regulares inscritos y circunscritos, cuyos perímetros se determinan fácilmente. Luego muestra cómo calcular los perímetros de polígonos regulares de dos veces más lados que están inscritos y circunscritos alrededor del mismo círculo. Este es un procedimiento recursivo que se describiría hoy de la siguiente manera: pagk y PAGk denotar los perímetros de polígonos regulares de k lados que están inscritos y circunscritos sobre el mismo círculo, respectivamente. Luego,

Arquímedes usa esto para calcular sucesivamente PAG12, pag12, PAG24, pag24, PAG48, pag48, PAG96 y pag96 . [52] Utilizando estos últimos valores obtiene

No se sabe por qué Arquímedes se detuvo en un polígono de 96 lados, solo se necesita paciencia para extender los cálculos. Heron informa en su Métrica (alrededor del 60 EC) que Arquímedes continuó el cálculo en un libro ahora perdido, pero luego le atribuye un valor incorrecto. [53]

Arquímedes no usa trigonometría en este cálculo y la dificultad de aplicar el método radica en obtener buenas aproximaciones para las raíces cuadradas involucradas. La trigonometría, en forma de una tabla de longitudes de cuerda en un círculo, probablemente fue utilizada por Claudio Ptolomeo de Alejandría para obtener el valor de π dado en el Almagesto (circa 150 d.C.). [54]

Los avances en la aproximación de π (cuando se conocen los métodos) se realizaron aumentando el número de lados de los polígonos utilizados en el cálculo. Una mejora trigonométrica de Willebrord Snell (1621) obtiene mejores límites a partir de un par de límites obtenidos del método del polígono. Por lo tanto, se obtuvieron resultados más precisos a partir de polígonos con menos lados. [55] La fórmula de Viète, publicada por François Viète en 1593, fue derivada por Viète utilizando un método poligonal estrechamente relacionado, pero con áreas en lugar de perímetros de polígonos cuyo número de lados son potencias de dos. [56]

El último gran intento de calcular π mediante este método lo llevó a cabo Grienberger en 1630, quien calculó 39 lugares decimales de π utilizando el refinamiento de Snell. [55]

Fórmula similar a una máquina Editar

Para cálculos rápidos, se pueden usar fórmulas como la de Machin:

junto con la expansión en serie de Taylor de la función arctan (X). Esta fórmula se verifica más fácilmente usando coordenadas polares de números complejos, produciendo:

( = <239, 13 2> es una solución de la ecuación de Pell x 2 −2 y 2 = −1.)

Las fórmulas de este tipo se conocen como Fórmulas tipo máquina. La fórmula particular de Machin se usó en la era de las computadoras para calcular números récord de dígitos de π, [30] pero más recientemente también se han usado otras fórmulas similares.

Por ejemplo, Shanks y su equipo utilizaron la siguiente fórmula similar a Machin en 1961 para calcular los primeros 100.000 dígitos de π: [30]

y usaron otra fórmula similar a Machin,

El récord de diciembre de 2002 de Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio era de 1.241.100.000.000 dígitos. Para esto se utilizaron las siguientes fórmulas tipo Machin:

Otras fórmulas clásicas Editar

Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:

Transformación de convergencia de Newton / Euler: [57]

donde (2k + 1) !! denota el producto de los números enteros impares hasta 2k + 1.

El trabajo de Ramanujan es la base del algoritmo de Chudnovsky, los algoritmos más rápidos utilizados, a partir del cambio de milenio, para calcular π.

Algoritmos modernos Editar

Las expansiones decimales extremadamente largas de π se calculan típicamente con fórmulas iterativas como el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein. Este último, encontrado en 1985 por Jonathan y Peter Borwein, converge extremadamente rápido:

yk + 1 = (1 - f (yk)) / (1 + f (yk)), ak + 1 = ak (1 + yk + 1) 4-2 2 k + 3 yk + 1 (1 + yk + 1 + yk + 1 2) < Displaystyle y_= (1-f (y_)) / (1 + f (y_))

donde f (y) = (1 - y 4) 1/4 < displaystyle f (y) = (1-y ^ <4>) ^ <1/4 >>, la secuencia 1 / ak < displaystyle 1 / a_> converge trimestralmente a π, dando alrededor de 100 dígitos en tres pasos y más de un billón de dígitos después de 20 pasos. Sin embargo, se sabe que usar un algoritmo como el de Chudnovsky (que converge linealmente) es más rápido que estas fórmulas iterativas.

Estas aproximaciones tienen tantos dígitos que ya no tienen ningún uso práctico, excepto para probar nuevas supercomputadoras. [58] Propiedades como la normalidad potencial de π siempre dependerán de la cadena infinita de dígitos al final, no de ningún cálculo finito.

Aproximaciones varias Editar

Históricamente, la base 60 se utilizó para los cálculos. En esta base, π se puede aproximar a ocho cifras significativas (decimales) con el número 38,29,4460, cual es

(El siguiente dígito sexagesimal es 0, lo que hace que el truncamiento produzca una aproximación relativamente buena).

Además, las siguientes expresiones se pueden utilizar para estimar π:

  • con precisión de tres dígitos:
  • con precisión de tres dígitos:
  • con precisión de cuatro dígitos:
  • con una precisión de cuatro dígitos (o cinco cifras significativas):
  • una aproximación de Ramanujan, con una precisión de 4 dígitos (o cinco cifras significativas):
  • con precisión de cinco dígitos:
  • con una precisión de seis dígitos [2]:
  • con una precisión de siete dígitos:
  • con precisión de nueve dígitos:
  • con una precisión de diez dígitos:
  • con una precisión de diez dígitos (u once cifras significativas):
  • con precisión de 18 dígitos:
  • exacto a 30 lugares decimales:
  • precisa hasta 52 lugares decimales:
  • precisa hasta 161 lugares decimales:
  • La representación de fracción continua de π se puede utilizar para generar sucesivas mejores aproximaciones racionales. Estas aproximaciones son las mejores aproximaciones racionales posibles de π en relación con el tamaño de sus denominadores. Aquí hay una lista de los primeros trece de estos: [64] [65]

Sumar el área de un círculo Editar

Pi se puede obtener de un círculo si su radio y área se conocen usando la relación:

Si un círculo con radio r se dibuja con su centro en el punto (0, 0), cualquier punto cuya distancia desde el origen sea menor que r caerá dentro del círculo. El teorema de Pitágoras da la distancia desde cualquier punto ( X , y ) hacia el centro:

El "papel cuadriculado" matemático se forma imaginando un cuadrado de 1 × 1 centrado alrededor de cada celda ( X , y ), dónde X y y son números enteros entre - r y r. Los cuadrados cuyo centro reside dentro o exactamente en el borde del círculo se pueden contar probando si, para cada celda ( X , y ),

El número total de celdas que satisfacen esa condición se aproxima al área del círculo, que luego se puede usar para calcular una aproximación de π. Se pueden producir aproximaciones más cercanas utilizando valores más grandes de r.

Matemáticamente, esta fórmula se puede escribir:

En otras palabras, comience eligiendo un valor para r. Considere todas las celdas ( X , y ) en el que ambos X y y son números enteros entre - r y r. Comenzando en 0, agregue 1 por cada celda cuya distancia al origen (0,0) sea menor o igual a r . Cuando termine, divida la suma, que representa el área de un círculo de radio r, por r 2 para encontrar la aproximación de π. Por ejemplo, si r es 5, entonces las celdas consideradas son:

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1)
(−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2)
(−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3)
(−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4)
(−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)

r zona aproximación de π
2 13 3.25
3 29 3.22222
4 49 3.0625
5 81 3.24
10 317 3.17
20 1257 3.1425
100 31417 3.1417
1000 3141549 3.141549

De manera similar, las aproximaciones más complejas de π que se dan a continuación implican cálculos repetidos de algún tipo, produciendo aproximaciones cada vez más cercanas a medida que aumenta el número de cálculos.

Fracciones continuas Editar

Además de su simple representación de fracción continua [3 7, 15, 1, 292, 1, 1,. ], que no muestra un patrón discernible, π tiene muchas representaciones de fracciones continuas generalizadas generadas por una regla simple, incluidas estas dos.

(Otras representaciones están disponibles en el sitio de Wolfram Functions).

Trigonometría Editar

Serie Gregory – Leibniz Editar

es la serie de potencias para arctan (x) especializada en X = 1. Converge demasiado lentamente para ser de interés práctico. Sin embargo, la serie de potencias converge mucho más rápido para valores más pequeños de x < displaystyle x>, lo que conduce a fórmulas donde π < displaystyle pi> surge como la suma de ángulos pequeños con tangentes racionales, conocidas como fórmulas similares a Machin.

Arctangent Editar

Sabiendo que 4 arctan 1 = π, la fórmula se puede simplificar para obtener:

con una convergencia tal que cada 10 términos adicionales produzcan al menos tres dígitos más.

Alternativamente, se puede utilizar la siguiente serie de expansión simple de la función arcangente

Arcsine Editar

Observando un triángulo equilátero y notando que

con una convergencia tal que cada cinco términos adicionales produzca al menos tres dígitos más.

El algoritmo Salamin-Brent Editar

La fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) para calcular π fue descubierta en 1995 por Simon Plouffe. Usando matemáticas de base 16, la fórmula puede calcular cualquier dígito en particular de π —devuelve el valor hexadecimal del dígito— sin tener que calcular los dígitos intermedios (extracción de dígitos). [68]

En 1996, Simon Plouffe derivó un algoritmo para extraer el n-ésimo dígito decimal de π (usando matemáticas de base 10 para extraer un dígito de base 10), y que puede hacerlo con una velocidad mejorada de O(norte 3 (registro norte) 3 Tiempo. El algoritmo prácticamente no requiere memoria para el almacenamiento de una matriz o matriz, por lo que el dígito un millonésimo de π se puede calcular con una calculadora de bolsillo. [69] Sin embargo, sería bastante tedioso y poco práctico hacerlo.

La velocidad de cálculo de la fórmula de Plouffe se mejoró para O(norte 2) por Fabrice Bellard, quien derivó una fórmula alternativa (aunque solo en matemáticas de base 2) para calcular π. [70]

Muchas otras expresiones para π fueron desarrolladas y publicadas por el matemático indio Srinivasa Ramanujan. Trabajó con el matemático Godfrey Harold Hardy en Inglaterra durante varios años.

Las expansiones decimales extremadamente largas de π se calculan típicamente con el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein también se ha utilizado el algoritmo Salamin-Brent, que fue inventado en 1976.

En 1997, David H. Bailey, Peter Borwein y Simon Plouffe publicaron un artículo (Bailey, 1997) sobre una nueva fórmula para π como una serie infinita:

Esta fórmula permite calcular con bastante facilidad la kth dígito binario o hexadecimal de π, sin tener que calcular el anterior k - 1 dígito. El sitio web de Bailey [71] contiene la derivación y las implementaciones en varios lenguajes de programación. El proyecto PiHex calculó 64 bits alrededor del cuadrillonésimo bit de π (que resulta ser 0).

Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:

Esto converge extraordinariamente rápido. El trabajo de Ramanujan es la base de los algoritmos más rápidos utilizados, a partir del cambio de milenio, para calcular π.

En 1988, David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky encontraron una serie de convergencia aún más rápida (el algoritmo de Chudnovsky):

La velocidad de varios algoritmos para calcular pi an dígitos correctos se muestra a continuación en orden descendente de complejidad asintótica. M (n) es la complejidad del algoritmo de multiplicación empleado.

Algoritmo Año Complejidad del tiempo o velocidad
Algoritmo de Chudnovsky 1988 O (n log ⁡ (n) 3) < displaystyle O (n log (n) ^ <3>)> [38]
Algoritmo de Gauss-Legendre 1975 O (M (n) log ⁡ (n)) < Displaystyle O (M (n) log (n))> [73]
División binaria de la serie arctan en la fórmula de Machin O (M (n) (log ⁡ n) 2) < Displaystyle O (M (n) ( log n) ^ <2>)> [73]
Fórmula de Leibniz para π 1300 Convergencia sublineal. Cinco mil millones de términos para 10 lugares decimales correctos

Pi Hex Editar

Pi Hex fue un proyecto para calcular tres dígitos binarios específicos de π utilizando una red distribuida de varios cientos de computadoras. En 2000, después de dos años, el proyecto terminó de calcular el cinco billonésimo (5 * 10 12), el cuarenta billonésimo y el cuatrillonésimo (10 15) bits. Los tres resultaron ser 0.

A lo largo de los años, se han escrito varios programas para calcular π con muchos dígitos en computadoras personales.

Propósito general Editar

La mayoría de los sistemas de álgebra por computadora pueden calcular π y otras constantes matemáticas comunes con la precisión deseada.

Las funciones para calcular π también se incluyen en muchas bibliotecas generales para aritmética de precisión arbitraria, por ejemplo Class Library for Numbers, MPFR y SymPy.

Edición de propósito especial

Los programas diseñados para calcular π pueden tener un mejor rendimiento que el software matemático de propósito general. Por lo general, implementan puntos de control y un intercambio de disco eficiente para facilitar cálculos extremadamente largos y costosos de memoria.


¿Cuántos dígitos de Pi tienes que haber memorizado para ser especial?

Hoy es el Día Pi y mdash el día de cada año, 14 de marzo, que sigue a los primeros tres dígitos de pi (3.14). Y este año & rsquos Pi Day es especial: dado que & mdash en los EE. UU. & Mdash la fecha se representa como el 14/03/15, tenemos los primeros cinco dígitos de pi en el calendario.

Eso es noticia para algunas personas. Cuando se trata de cuántos dígitos de pi la gente se sabe de memoria, la mayoría solo sabe 3,14. ¡Lo cual está bien! A menos que esté dispuesto a construir un puente, eso es lo máximo que necesita saber.

Le pedí a SurveyMonkey Audience que hiciera una encuesta para ver hasta dónde podían llegar las personas recitando los dígitos infinitos de pi. De 941 encuestados, 836 intentaron nombrar los dígitos después del punto decimal. Así es como llegaron:

NIVEL DE PRECISIÓN PORCENTAJE DE ENCUESTADOS
3.1 73
3.14 64
3.141 33
3.1415 26
3.14159 19
3.141592 12
3.1415926 10
3.14159265 7
3.141592653 5

Si puede llegar a los primeros 3 después del punto decimal, se ubicará en el 5 por ciento superior de los memorizadores de pi. Les pedí a las personas que llegaron tan lejos que siguieran adelante, y la mayoría hizo tapping poco después.

La mayor caída se produjo después de & ldquo3.14, & rdquo, ya que los encuestados que llegaron tan lejos llegaron a & ldquo3.141 & rdquo solo alrededor del 52 por ciento del tiempo.

Los empleados de la NASA probablemente puedan salirse con la suya sabiendo solo los primeros seis dígitos después del punto decimal. Además, tenemos calculadoras para cuando necesitamos algunos dígitos más, TI-89 para cuando esas calculadoras son insuficientes y Wolfram Alpha para cuando reducimos esas calculadoras a un desastre humeante y derretido.

Tal vez después del tan esperado apocalipsis, los chicos del Gran Colisionador de Hadrones estarán felices de tener a ese tipo que memorizó decenas de miles de dígitos pi, pero por ahora, él & rsquos acaba de tener un pasatiempo extraño. Saber pi es estrictamente un acto performativo, como las personas que ofrecen voluntariamente su puntaje SAT o su porcentaje de finalización de la escuela secundaria.


¿Cuántos dígitos de Pi conocían los antiguos egipcios? - Historia

Pi es un nombre que se le da a la relación entre la circunferencia de un círculo y el diámetro. Eso significa que, para cualquier círculo, puede dividir la circunferencia (la distancia alrededor del círculo) por el diámetro y obtener siempre exactamente el mismo número. No importa cuán grande o pequeño sea el círculo, Pi sigue siendo el mismo. Pi se escribe a menudo usando el símbolo y se pronuncia & quotpie & quot, al igual que el postre.

Una breve historia de Pi
Las civilizaciones antiguas sabían que había una proporción fija de circunferencia a diámetro que era aproximadamente igual a tres. Los griegos refinaron el proceso y a Arquímedes se le atribuye el primer cálculo teórico de Pi.

En 1761 Lambert demostró que Pi era irracional, es decir, que no se puede escribir como una razón de números enteros.

En 1882 Lindeman demostró que Pi era trascendental, es decir, que Pi no es la raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Este descubrimiento demostró que no se puede "cuadrar un círculo", lo cual era un problema que ocupaba a muchos matemáticos hasta ese momento. (Más información sobre cómo cuadrar el círculo).

¿Cuántos dígitos hay? ¿Alguna vez termina?
Debido a que se sabe que Pi es un número irracional, significa que los dígitos nunca terminan ni se repiten de ninguna manera conocida.Pero calcular los dígitos de Pi ha demostrado ser una fascinación para los matemáticos a lo largo de la historia. Algunos se pasaron la vida calculando los dígitos de Pi, pero hasta las computadoras, se habían calculado menos de 1,000 dígitos. En 1949, una computadora calculó 2000 dígitos y comenzó la carrera. Se han calculado millones de dígitos, con el récord que ostentaba (en septiembre de 1999) una supercomputadora de la Universidad de Tokio que calculó 206,158,430,000 dígitos. (primeros 1000 dígitos)

Puede encontrar más información sobre la historia de Pi en los archivos de Mac Tutor Math History.

Aproximación de Pi
Arquímedes calculó que Pi estaba entre 3 10/71 y 3 1/7 (también escrito 223/71

Sitios web de Pi
Pi sigue siendo una fascinación para muchas personas en todo el mundo. Si está interesado en obtener más información, hay muchos sitios web dedicados al número Pi. Hay sitios que ofrecen miles, millones o miles de millones de dígitos, pi clubs, música pi, gente que calcula dígitos, gente que memoriza dígitos, experimentos Pi y más. Consulte esta página de Yahoo para obtener una lista completa.

Un experimento Pi genial
Una de las formas más interesantes de aprender más sobre Pi es hacer experimentos de pi usted mismo. Aquí hay uno famoso llamado Aguja de Buffon.

En el experimento de la aguja de Buffon puedes dejar caer una aguja en una hoja de papel rayado. Si realiza un seguimiento de cuántas veces la aguja aterriza en una línea, resulta estar directamente relacionado con el valor de Pi.

Applet de simulación de agujas de Buffon (Michael J. Hurben)
Buffon's Needle (George Reese, Oficina de Educación en Matemáticas, Ciencia y Tecnología de la Universidad de Illinois Champaign-Urbana)

Primeros 100 decimales

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 .

Primeros 1000 decimales
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989


Pi, alguien? El secreto para memorizar decenas de miles de dígitos

Cada año, los entusiastas de las matemáticas celebran el Día de Pi el 14 de marzo, porque la fecha deletrea los primeros tres dígitos (3,14) de pi, o π, la constante matemática que representa la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Este año, el evento es aún más especial porque, por primera vez en un siglo, la fecha representará los primeros cinco dígitos de pi: 3.14.15.

Pi es un número irracional, lo que significa que no se puede expresar como una fracción, y su representación decimal nunca termina y nunca se repite.

Hay muchas formas de celebrar el Día del Pi, incluido consumir grandes cantidades de su delicioso pastel homófono. Pero un puñado de personas lleva su admiración más allá, recitando de memoria decenas de miles de dígitos de pi. [Los 9 números más enormes que existen]

En 1981, un hombre indio llamado Rajan Mahadevan recitó con precisión 31,811 dígitos de pi de memoria. En 1989, el japonés Hideaki Tomoyori recitó 40.000 dígitos. El récord mundial Guinness actual está en manos de Lu Chao de China, quien, en 2005, recitó 67,890 dígitos de pi.

A pesar de sus impresionantes logros, la mayoría de estas personas no nacieron con recuerdos extraordinarios, sugieren los estudios. Simplemente han aprendido técnicas para asociar cadenas de dígitos con lugares o escenas imaginarios en sus mentes.

Para muchos de estos defensores de la memoria, la capacidad "de recordar una gran cantidad de dígitos aleatorios, como pi, es algo que se entrenan para hacer durante un largo período de tiempo", dijo Eric Legge, psicólogo cognitivo de la Universidad de Alberta en Edmonton, Canadá.

Entra en el palacio de la mente

Los memorizadores de pi expertos a menudo utilizan una estrategia conocida como el método de los loci, también llamado el "palacio de la memoria" o la técnica del "palacio de la mente" (como la utilizada por el personaje de Benedict Cumberbatch en la serie de televisión de la BBC "Sherlock"). Aplicado desde la época de los antiguos griegos y romanos, el método implica el uso de visualización espacial para recordar información, como dígitos, caras o listas de palabras.

"Es una de las estrategias de memoria más efectivas, pero complejas, que existen para recordar grandes conjuntos de información", dijo Legge a WordsSideKick.com.

Así es como funciona: te colocas en un entorno familiar, como una casa, y caminas por ese entorno colocando fragmentos de la información que deseas recordar en varios lugares. Por ejemplo, puede poner el número "717" en la esquina de la puerta principal, el número "919" en el fregadero de la cocina, y así sucesivamente, dijo Legge.

"Para recordar [los dígitos] en orden, todo lo que tienes que hacer es caminar por el mismo camino que recorriste cuando estabas almacenando esa información", dijo Legge. "Al hacer esto, la gente puede recordar grandes conjuntos de información".

Nutrir, no naturaleza

Anders Ericsson, profesor de psicología en la Universidad Estatal de Florida en Tallahassee, ha estudiado a Lu y otros que han establecido récords por recitar dígitos de pi, para descubrir cómo lograron estas asombrosas hazañas de memorización.

Como la mayoría de los recitadores de pi, Lu usó técnicas de visualización para ayudarlo a recordar. Asignó imágenes como una silla, un rey o un caballo a combinaciones de números de dos dígitos que van desde "00" a "99". Luego inventó una historia usando estas imágenes, que estaba vinculada a una ubicación física, dijo Ericsson.

Hace unos años, Ericsson y sus colegas le dieron a Lu, así como a un grupo de personas de la misma edad y nivel educativo, una prueba que medía su "rango de dígitos" y mdash, en otras palabras, qué tan bien podían recordar una secuencia de dígitos presentados a una velocidad de un dígito por segundo.

La amplitud de dígitos de Lu fue de 8,83, en comparación con un promedio de 9,27 para el resto del grupo, según el estudio, que se publicó en 2009 en la revista Journal of Experimental Psychology. Los resultados sugieren que, a diferencia de otros expertos en memoria que han sido estudiados, la habilidad de Lu para memorizar largas listas de dígitos no fue el resultado de una habilidad innata para codificar información. Más bien, fue el resultado de años de práctica, dijo Ericsson.

Entonces, ¿esto significa que cualquiera puede aprender a recordar decenas de miles de dígitos de pi?

"Ha habido muchas demostraciones que muestran que las personas normales, que reciben capacitación, pueden mejorar drásticamente su desempeño" en la memorización de listas largas, dijo Ericsson. "Pero tengo que ser honesto", dijo. "Cuando te comprometes a memorizar pi ... estamos hablando de años antes de que puedas alcanzar un rendimiento récord".


El sistema numérico y las operaciones aritméticas.

Los egipcios, como los romanos después de ellos, expresaron números de acuerdo con un esquema decimal, usando símbolos separados para 1, 10, 100, 1,000, y así sucesivamente, cada símbolo apareció en la expresión para un número tantas veces como el valor que representaba. en el número en sí. Por ejemplo, representaba 24. Esta notación bastante engorrosa se usó dentro de la escritura jeroglífica que se encuentra en las inscripciones en piedra y otros textos formales, pero en los documentos en papiro los escribas emplearon una escritura abreviada más conveniente, llamada escritura hierática, donde, por ejemplo, 24 estaba escrito / >.

En tal sistema, la suma y la resta equivalen a contar cuántos símbolos de cada tipo hay en las expresiones numéricas y luego reescribir con el número resultante de símbolos. Los textos que sobreviven no revelan qué procedimientos especiales, si los hay, utilizaron los escribas para ayudar en esto. Pero para la multiplicación introdujeron un método de duplicación sucesiva. Por ejemplo, para multiplicar 28 por 11, se construye una tabla de múltiplos de 28 como la siguiente:

Las diversas entradas de la primera columna que juntas suman 11 (es decir, 8, 2 y 1) están marcadas. El producto se encuentra luego sumando los múltiplos correspondientes a estas entradas, por lo tanto, 224 + 56 + 28 = 308, el producto deseado.

Para dividir 308 entre 28, los egipcios aplicaron el mismo procedimiento a la inversa. Usando la misma tabla que en el problema de multiplicación, se puede ver que 8 produce el mayor múltiplo de 28 que es menor que 308 (porque la entrada en 16 ya es 448), y 8 está marcado. Luego se repite el proceso, esta vez para el resto (84) obtenido restando la entrada en 8 (224) del número original (308). Sin embargo, esto ya es más pequeño que la entrada en 4, que en consecuencia se ignora, pero es mayor que la entrada en 2 (56), que luego se marca. El proceso se repite nuevamente para el resto obtenido restando 56 del resto anterior de 84, o 28, que también resulta exactamente igual a la entrada en 1 y que luego se marca. Las entradas que se han marcado se suman, dando como resultado el cociente: 8 + 2 + 1 = 11. (En la mayoría de los casos, por supuesto, hay un resto que es menor que el divisor).

Para números más grandes, este procedimiento se puede mejorar considerando múltiplos de uno de los factores por 10, 20, ... o incluso por órdenes de magnitud más altos (100, 1,000, ...), según sea necesario (en la notación decimal egipcia, estos múltiplos son fáciles hacer ejercicio). Por lo tanto, uno puede encontrar el producto de 28 por 27 estableciendo los múltiplos de 28 por 1, 2, 4, 8, 10 y 20. Dado que las entradas 1, 2, 4 y 20 suman 27, uno tiene solo para sumar los múltiplos correspondientes para encontrar la respuesta.

Los cálculos que involucran fracciones se llevan a cabo bajo la restricción de partes unitarias (es decir, fracciones que en la notación moderna se escriben con 1 como numerador). Para expresar el resultado de dividir 4 entre 7, por ejemplo, que en la notación moderna es simplemente 4/7, el escriba escribió 1/2 + 1/14. El procedimiento para encontrar cocientes en esta forma simplemente extiende el método habitual para la división de números enteros, donde ahora se inspeccionan las entradas para 2/3, 1/3, 1/6, etc., y 1/2, 1/4, 1/8, etc., hasta que los múltiplos correspondientes del divisor sumen el dividendo. (Los escribas incluyeron 2/3, se puede observar, aunque no es una fracción unitaria.) En la práctica, el procedimiento a veces puede volverse bastante complicado (por ejemplo, el valor de 2/29 se da en el papiro de Rhind como 1 / 24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) y se puede resolver de diferentes maneras (por ejemplo, el mismo 2/29 podría encontrarse como 1/15 + 1/435 o como 1/16 + 1 / 232 + 1/464, etc.). Una parte considerable de los textos en papiro está dedicada a tablas para facilitar la búsqueda de tales valores de fracción unitaria.

Estas operaciones elementales son todo lo que se necesita para resolver los problemas aritméticos de los papiros. Por ejemplo, “para dividir 6 panes entre 10 hombres” (papiro Rhind, problema 3), uno simplemente divide para obtener la respuesta 1/2 + 1/10. En un grupo de problemas se utiliza un truco interesante: “Una cantidad (aha) y su séptimo juntos suman 19, ¿qué es? " (Papiro de Rhind, problema 24). Aquí primero se supone que la cantidad es 7: ya que 1 1 /7 de él se convierte en 8, no 19, uno toma 19/8 (es decir, 2 + 1/4 + 1/8), y su múltiplo por 7 (16 + 1/2 + 1/8) se convierte en la respuesta requerida. Este tipo de procedimiento (a veces llamado método de "posición falsa" o "suposición falsa") es familiar en muchas otras tradiciones aritméticas (p. Ej., La china, hindú, musulmana y europea del Renacimiento), aunque parecen no tener un vínculo directo al egipcio.


10,000 dígitos de Pi formateados para humanos

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
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La alegría de la aritmética sexagesimal de coma flotante

El mes pasado, escribí sobre la exageración que rodeaba un nuevo artículo sobre la muy estudiada tableta Plimpton 322. Esta antigua tableta mesopotámica, que ha sido objeto de muchos artículos académicos en el transcurso de las últimas décadas, tiene columnas de números relacionados con triángulos rectángulos, pero no sabemos exactamente cómo o por qué se creó la tabla.

En mi publicación, critiqué el video publicitario que los investigadores hicieron para acompañar la publicación del artículo. Específicamente, me irritaron las extrañas observaciones que hizo uno de los investigadores sobre la utilidad relativa de la base 60, o sexagesimal, frente al sistema de base 10 o decimal que usamos hoy.

Para ser claros, la base 60 tiene una gran ventaja sobre la base 10:60 es divisible por 3, y 10 no es igual. Es fácil escribir las fracciones 1/2, 1/4 y 1/5 en base 10: tienen un valor de 0,5, 0,25 y 0,2, respectivamente. Pero 1/3 es 0.3333 & hellip. Su representación decimal no termina. Eso realmente no es un gran problema para nosotros porque nos sentimos cómodos representando números como decimales o fracciones. Pero el sistema numérico babilónico no representaba las fracciones en términos de numeradores y denominadores como lo hacemos nosotros. Solo usaban la forma sexagesimal, que sería como si usáramos decimales en lugar de escribir números como fracciones. En sexagesimal, 1/3 tiene una representación fácil como. It & rsquos 20/60, que podría escribirse como .20 en un sistema sexagesimal. (No fue escrito precisamente de esa manera por los antiguos mesopotámicos porque no tenían un equivalente a un punto decimal. Volveremos a eso más tarde).

Cuantos más factores primos, mejor cuando se trata de representar números fácilmente usando un sistema numérico posicional como base 10 o 60, pero esos factores adicionales tienen un costo. En base 10, solo tenemos que aprender 10 dígitos. La base 30, la base más pequeña que es divisible por 2, 3 y 5 (60 tiene un factor adicional de 2 que no hace una gran diferencia en lo fácil que es representar números), requiere 30 dígitos distintos. Si quisiéramos escribir fracciones como 1/7 usando una representación análoga, tendríamos que saltar hasta la base 210. Trabajar con tantos dígitos se vuelve engorroso muy rápidamente.

Las fracciones cuyos denominadores solo tienen factores de 2 y 5 tienen representaciones decimales finitas. La base 12 también sería bastante conveniente. Tiene factores primos de 2 y 3, y es bastante fácil contar hasta 12 con los dedos usando los nudillos de una mano en lugar de los dedos individuales. (Uno de mis estudiantes de historia de las matemáticas escribió una publicación argumentando a favor de un sistema numérico de base 12, o docena). Con base 12, perdemos la capacidad de representar 1/5 o 1/10 fácilmente. Pero 30 o 60, las bases más pequeñas que permiten los factores primos 2, 3 y 5, son terriblemente grandes. Es una compensación. Personalmente, la idea de tener que realizar un seguimiento de 30 o 60 dígitos diferentes, incluso si se explican por sí mismos, como lo eran los dígitos babilónicos, es demasiado para mí, así que me quedo con 10 o 12. Pero adelante y balancee el sexagesimal si eso es lo tuyo.

La base 60 ciertamente tiene esa ventaja principal sobre la base 10, pero me molestó la forma en que Mansfield exageró esa ventaja en el video promocional que hicieron para acompañar el periódico. Aquí & rsquos lo que escribí al respecto el mes pasado:

Quizás la utilidad de los diferentes tipos de tablas trigonométricas es una cuestión de opinión, pero el video de la UNSW también tiene algunas falsedades sobre la precisión en base 60 versus el sistema base 10 que usamos ahora. Alrededor de la marca 1:10, dice Mansfield, & ldquoContamos en base 10, que solo tiene dos fracciones exactas: 1/2, que es 0.5, y 1/5. & Rdquo Mi primera objeción es que cualquier fracción es exacta. El número 1/3 es exactamente 1/3. Mansfield deja en claro que lo que quiere decir con que 1/3 no es una fracción exacta es que tiene un infinito (0.333 & hellip) en lugar de un decimal final. Pero ¿qué pasa con 1/4? Eso es 0,25, que termina, y aun así Mansfield no lo considera una fracción exacta. ¿Y qué pasa con 1/10 o 2/5? Se pueden escribir 0.1 y 0.4, que parecen bastante exactos.

Indefendiblemente, cuando elogia las muchas "fracciones exactas" disponibles en base 60, no aplica los mismos estándares. En base 60, 1/8 se escribiría 7/60 + 30/3600 que es la misma idea que escribir 0.25, o 2/10 + 5/100, para 1/4 en base 10. ¿Por qué es 1/8 exacto en base 60 pero 1/4 no exactamente en base 10?

No voy a repetir mi publicación aquí, pero quiero aclarar un punto. Algunas personas que han criticado esta crítica del video piensan que los números que mencioné son solo números aleatorios flotando en el éter del video. ¡Ellos no quieren! Debido a que Mansfield no explicó lo que significaban los números, pueden parecer aleatorios, pero de hecho, la expresión 1/8 = 7.30 sí significa algo. Hice que mis alumnos trabajaran un poco con aritmética de base 60 cuando les enseñé historia de matemáticas, así que reconocí inmediatamente los pares que él mostraba como & ldquoreciprocalpares & rdquo en base 60. El equivalente cuneiforme de la ecuación 1/8 = 7.30 habría sido significativo para un persona con educación matemática en 1800 a. C.

Una captura de pantalla del video promocional que los investigadores hicieron para acompañar su artículo sobre la tableta babilónica Plimpton 322. Crédito: UNSW

El sistema numérico babilónico era un sistema posicional o de valor posicional como el nuestro. En nuestro sistema decimal, el dígito 1 puede significar una unidad si & rsquos solo, diez si & rsquos en el lugar de las decenas en un número como 10 o 12, cien si & rsquos en el siguiente lugar a la izquierda, y así sucesivamente. En un sistema posicional de base 60, habría un lugar de unidades, un lugar de sesenta, un lugar de treinta y seis centenas, y así sucesivamente, en lugar de las unidades, decenas y centenas que solíamos usar. Pero aparte de eso, el sistema funciona de la misma manera que lo hace el nuestro. Esto contrasta, por ejemplo, con los números romanos, donde I significa uno, X significa diez, C significa cien, y así sucesivamente. Así que es un poco más fácil trabajar con el sistema babilónico que con el sistema romano.

Pero hay un giro: el sistema babilónico no usaba un cero, al menos al principio. (Escribí sobre esta peculiaridad cuando comencé a enseñar historia de las matemáticas en 2014). Usamos cero como marcador de posición, ya sea en el medio de un número, como en el número 101, o al principio (0.001) o al final (1,000) para Indique la magnitud del número del que hablamos. Los antiguos mesopotámicos no lo hicieron, aunque dejaron un poco de espacio para dígitos vacíos en el medio de un número donde escribiríamos el cero en 101. Asumieron que el contexto aclararía el orden de magnitud. En nuestro sistema numérico, sería como escribir 1 y suponiendo que estaría claro si eso significa uno, diez, una décima, cien u otro número que escribiríamos usando solo los dígitos uno y cero.

Eso suena confuso y dio lugar a algunos errores, pero también cometemos errores tontos en función de cómo escribimos los números: los dígitos 6 y 0, o 1 y 7, se ven similares en la escritura a mano de algunas personas, por ejemplo. Incluso a veces omitimos un orden de magnitud si se entiende en contexto. La gente habla de comer algo con 100 calorías, lo que realmente significa 100 kilocalorías. Los anuncios inmobiliarios a veces dicen cosas como & ldquoHomes from the $ 100's & rdquo (en los suburbios de Texas cuando era un niño) o & ldquoUnits from the $ 500's & rdquo (en las grandes ciudades de hoy). Si se presenta con unos pocos cientos de dólares pensando que regresa como propietario de una casa, lamentará mucho no haber entendido el tácito & ldquothousand & rdquo al final de esos números.

Hoy en día, las computadoras generalmente representan y manipulan números usando aritmética de punto flotante, lo que podría recordarle la notación científica. Un conjunto de dígitos indica los dígitos del número y el otro conjunto indica su orden de magnitud. De esa forma, se necesita básicamente la misma cantidad de memoria para almacenar el número 12 que el número 12.000.000.Aunque el sistema babilónico no indicaba órdenes de magnitud tan claramente como las computadoras modernas, las similitudes son suficientes para que algunas personas se refieran a él como punto flotante sexagesimal.

El hecho de que 1 pudiera indicar uno, sesenta, treinta y seiscientos u otras potencias de 60 en el sistema numérico babilónico llevó a una forma diferente de pensar sobre la división. Si tuvieran que dividir por un número, multiplicarían por un & ldquoreciprocal & rdquo de ese número. Dos números serían recíprocos si su producto fuera el dígito 1. Pero eso podría significar cualquier cosa que se escribiera como el equivalente del dígito 1 en base 60: 1, 60, 3600, 1/60, etc. Entonces 4 y 15 forman un par recíproco en base 60 porque 4 & times15 es 60. Lo mismo ocurre con 3 y 20, 5 y 12, y muchas otras combinaciones. (Estos pares pueden resultar familiares: hay 15 minutos en un cuarto de hora, 20 en un tercio, y así sucesivamente. Me gusta pensar en esto como un sexagesimismo vestigial). Las tablas recíprocas también incluían pares recíprocos más complicados: 8 y 7,30 9 y 6,40 1,21 y 44,26,40. (Hoy en día, normalmente ponemos comas entre dígitos sexagesimales cuando los escribimos con nuestros decimales hindúes-árabes para evitar la ambigüedad. 7,30 significa que un lugar tiene un 7 y otro un 30. El orden de magnitud aún depende del contexto. )

Al principio, declaraciones como 1/4 = 15 y 1/8 = 7,30 me parecieron poco naturales a mí y a mis alumnos, pero creo que traducirlas de nuevo a la base 10 puede ayudar un poco. Cuando era niño, descubrí un hecho asombroso: en lugar de multiplicar por 5, que era difícil para mí, podía dividir por 2, que era fácil para mí, y multiplicar por 10. No lo pensé de esa manera. Lo pensé más como & ldquodivide por 2 y luego haz que el número tenga el tamaño correcto. & Rdquo Más tarde descubrí que se podía invertir el proceso: puedes dividir por 5 multiplicando por 2 y hacer que el número tenga el tamaño correcto (dividiendo por 10 , que puede parecer quitar un cero o mover un punto decimal hacia la izquierda). También descubrí que podía multiplicar por 50 usando el mismo truco y agregando otro 0.

Estaba bastante satisfecho con estos pequeños trucos, pero nunca se lo dije a mis profesores porque estaba seguro de que estaba haciendo trampa. Si me atrapan, tendría que aprender a multiplicar o dividir por 5. ¡El horror! Ahora sé por qué mis trucos funcionaron y que no estaban haciendo trampa. Estaba usando el hecho de que 5 y 2 son recíprocos de coma flotante decimal. De hecho, es bueno poder separar números de manera conveniente para facilitar la aritmética. Cuando me encontré por primera vez con el sistema babilónico de base 60, reconocí el truco 5-2 como una versión de base 10 de los pares sexagesimal y ldquoreciprocal. & Rdquo Si bien las matemáticas mesopotámicas probablemente no van a cambiar la forma en que hacemos trigonometría, jugando con números y aprendiendo sobre Las diferentes formas de representarlos pueden ayudar a los estudiantes (y no estudiantes) a desarrollar nuestro sentido numérico y divertirse.

Para más información sobre el sistema numérico babilónico:
Una introducción a los números babilónicos del sitio web de historia matemática de MacTutor
La página de Matemáticas mesopotámicas de Duncan J. Melville, ver en particular & quotSpecial Topics & quot, que incluye artículos sobre pares recíprocos babilónicos.

Las opiniones expresadas son las del autor (es) y no son necesariamente las de Scientific American.


Entierro del faraón

La momificación y el entierro ocuparon un lugar importante en la vida egipcia. Los egipcios creyeron la preservación del cuerpo garantizado la supervivencia del alma en la otra vida. El faraón comenzó a construir su tumba poco después de asumir el trono. Las ubicaciones y los tipos de tumbas construidas cambiaron con el tiempo y cuando se mudó la capital del país. Las tumbas contenían decoraciones del viaje del faraón al más allá y textos del Libro de los Muertos.

& copy Mary Harrsch - Sarcófago decorado

Las primeras tumbas faraónicas son las tumbas de mastaba hecho de adobe. Los eruditos encontraron estas tumbas en algunos de los cementerios más antiguos cerca de las capitales antiguas (consulte la lista de capitales a continuación). Mastabas, como todos los cementerios del antiguo Egipto, estaba en la orilla occidental del Nilo, que era el reino de los muertos.

Pirámides Fueron elaboraciones del diseño de mastaba en piedra. El primero fue el Pirámide escalonada de Djoser que diseñó Imhotep. Los arquitectos planearon las pirámides e incluyeron un templo mortuorio y otras tumbas reales en el complejo. La Gran Pirámide de Keops en Giza es el mejor ejemplo de este tipo de tumba.

& copiar DragonWoman - Pyramid Complex en Giza

Los faraones posteriores vieron que los ladrones de tumbas irrumpieron en las tumbas anteriores, por lo que ocultaron tumbas excavadas en la roca. El área donde construyeron estas tumbas ahora se llama el Valle de los Reyes. Algunas tumbas contenían varias cámaras y más de un gobernante.

Los faraones recibieron entierros elaborados que contiene una amplia variedad de productos. Al principio, los sacerdotes enterraban a los faraones con artículos como ropa, muebles, juegos y joyas. Durante la Dinastía XIX, los sacerdotes comenzaron a enterrarlos con artículos hechos para el más allá. Un ejemplo de esto son las figurillas de arcilla shabti hechas para servir al faraón. Los sacerdotes colocaban comida, aceite y platos en las tumbas para alimentar al rey en la otra vida.


Ver el vídeo: Egyptian Math Extended Version by Seth Fleishman. World History by a Jew (Enero 2022).