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El más allá en la antigua Grecia

El más allá en la antigua Grecia

En la antigua Grecia, la existencia continua de los muertos dependía de que los vivos los recordaran constantemente. El más allá, para los antiguos griegos, consistía en un mundo gris y lúgubre en la época de Homero (siglo VIII a. C.) y, lo más famoso, tenemos la escena de Homero. Odisea en el que Ulises se encuentra con el espíritu del gran guerrero Aquiles en el inframundo, donde Aquiles le dice que preferiría ser un esclavo sin tierra en la tierra que un rey en el inframundo. En la época de Platón, sin embargo (siglo IV a. C.), la vida después de la muerte había cambiado de carácter, de modo que las almas fueron mejor recompensadas por sus dolores una vez que abandonaron la tierra; pero sólo en la medida en que los vivos mantuvieran viva su memoria.

La tierra de los muertos

La otra vida se conocía como Hades y era un mundo gris gobernado por el Señor de los Muertos, también conocido como Hades. Dentro de este reino brumoso, sin embargo, había diferentes planos de existencia que los muertos podían habitar. Si hubieran vivido una buena vida y los vivos los recordaran, podrían disfrutar de los placeres soleados del Elysium; si eran malvados, caían en los pozos más oscuros del Tártaro, mientras que, si eran olvidados, vagaban eternamente en la desolación de la tierra del Hades. Si bien tanto el Elíseo como el Tártaro existieron en la época del escritor Hesíodo (contemporáneo de Homero), no se entendieron entonces de la misma manera que llegaron a ser.

Si las personas hubieran vivido una buena vida y los vivos las recordaran, podrían disfrutar de los placeres soleados de Elysium.

En el diálogo de Platón sobre El Fedón, Sócrates delinea las diversas mesetas del más allá y deja claro que el alma que, en la vida, se dedica al Bien es recompensada en el más allá con una existencia mucho más placentera que aquellos que complacieron sus apetitos y vivieron solo para el bien. placeres que el mundo tiene para ofrecer. Como la mayoría de la gente, entonces como ahora, veía a sus seres queridos perdidos como modelos de la virtud humana (lo fueran o no, de hecho), se consideraba el deber de uno para con los muertos recordarlos bien, independientemente de la vida que habían vivido, el errores que habían cometido y, por lo tanto, proporcionarles una existencia continua en Elysium. Este recuerdo no se consideró una cuestión de elección personal sino, más bien, una parte importante de lo que los griegos conocían como Eusebia.

Piedad en la antigua Grecia

Hoy traducimos la palabra griega 'Eusebia' como 'piedad', pero eusebia era mucho más que eso: era el deber de uno para con uno mismo, los demás y los dioses lo que mantenía a la sociedad en el buen camino y dejaba claro el lugar de uno en la comunidad. Sócrates, por ejemplo, fue ejecutado por la ciudad-estado de Atenas después de haber sido condenado por impiedad por supuestamente corromper a la juventud de Atenas y hablar en contra de los dioses establecidos. Por injusto que podamos ver el final de Sócrates hoy, de hecho, habría sido culpable de impiedad al alentar a la juventud de Atenas, con su propio ejemplo, a cuestionar a sus mayores y superiores sociales. Este comportamiento se habría considerado impío en el sentido de que los jóvenes no actuaban de acuerdo con la eusebia, es decir, estaban olvidando su lugar y obligaciones en la sociedad.

Eusebia y el más allá

De la misma manera que uno tenía que recordar su deber hacia los demás en su vida, también tenía que recordar su deber hacia aquellos que habían fallecido. Si uno se olvidaba de honrar y recordar al muerto se consideraba impío y, si bien esta infracción particular de la conducta social no fue castigada con tanta severidad como la infracción de Sócrates, ciertamente fue severamente mal vista. Hoy en día, si uno considera las lápidas de los antiguos griegos, ya sea en un museo o justo debajo de la Acrópolis de Atenas, uno encuentra piedras con escenas cómodas y comunes representadas: un esposo sentado a la mesa mientras su esposa le trae su cena, un hombre siendo recibido por sus perros al regresar a casa. Estas sencillas escenas no eran meras descripciones de los momentos que el difunto disfrutó en su vida; tenían el propósito de recordar visceralmente a los vivos de quién era esa persona en vida, de quién todavía era esa persona ahora en la muerte, y de encender la luz del recuerdo continuo para que los "muertos" vivieran en la dicha eternamente. En la antigua Grecia, la muerte fue derrotada, no por los dioses, sino por la agencia humana de la memoria.

¿Historia de amor?

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Nota del colaborador: Este artículo se publicó por primera vez en el sitio web Suite 101. C. 2008 Joshua J. Mark


Antiguos griegos: vida cotidiana, creencias y mitos

Cuando alguien moría en la Antigua Grecia, lo lavaban. Se les pondría una moneda en la boca para pagar a los barqueros que llevaran a los muertos a través de los ríos en las diferentes partes del inframundo. Cuando los griegos conquistaron Egipto, adoptaron la tradición egipcia de la momificación. Usaron cajas simples para enterrar a sus muertos o los difuntos serían quemados, y sus cenizas enterradas en una olla especial.

Tumbas y lápidas

Las entradas a las tumbas, donde se enterraba a los muertos, estaban hechas de mármol. Se grabaron cabezas de Gorgonas en las puertas de la tumba para protegerse del mal. Las tumbas se hicieron para evitar que los muertos fueran olvidados y, a veces, se esculpieron con imágenes, mostrando a los fallecidos con personas que conocían en vida.

En el interior de la tumba la familia del fallecido colocó objetos valiosos con su cuerpo, como cerámica, joyas y monedas. Se creía que podrían usar estos objetos en el inframundo. Cada año, las familias visitaban las tumbas de sus parientes muertos, haciendo ofrendas y decorando la tumba.


Viviendo la antigua muerte griega

El primer rito de paso, o prótesis, significa estirar el cuerpo. (Imagen: Museo de Arte Walters / Dominio público)

Ponerse en las sandalias de un griego moribundo

Los antiguos griegos tenían ciertas ideas sobre la muerte. Uno de los motivos más característicos que la gente encuentra en las antiguas lápidas griegas es el apretón de manos entre vivos y muertos. Ambas figuras exhiben invariablemente una calma digna. De eso se trata la tragedia griega: mirar a la muerte directamente a los ojos. Como griegos, sabían que suceden cosas terribles y también sabían que al enfrentarlos de frente, serían capaces de lidiar con ellos y seguir con la vida. Se podría suponer que los griegos lo hicieron bien.

Pero hay que ponerse las sandalias de un griego moribundo para entenderlo. Es un pensamiento desagradable, pero no hay forma de escapar de él si uno quiere experimentar plenamente el otro lado de la historia.

El papel de un médico en la muerte

Supongamos que uno está muriendo en una casa de & # 8217s, rodeado de parientes de uno & # 8217s, incluidos niños pequeños. No habrá ningún médico disponible para administrar analgésicos.

Un médico puede haber ofrecido tratamiento en las primeras etapas de la enfermedad, pero una vez que se hizo inevitable que solo pudiera haber un resultado, la profesión médica ya no tenía nada que ofrecer.

También es extremadamente improbable que se llame a un médico para sacar a uno de sus sufrimientos mediante la eutanasia, una palabra acuñada de etimología griega que significa & # 8216 buena muerte & # 8217, pero que no tiene equivalente griego antiguo. De hecho, el juramento hipocrático, que probablemente fue ampliamente adoptado, ordenó a los médicos que lo tomaron & # 8220 no administrar un veneno a nadie que lo pidiera y no proponer tal curso & # 8221. Así que esperemos que la última enfermedad de uno sea breve e indolora.

Esta es una transcripción de la serie de videos El otro lado de la historia: la vida cotidiana en el mundo antiguo. Míralo ahora, Wondrium.

El papel de los dioses en la muerte

El poeta Keats tiene una maravillosa línea en Oda a un ruiseñor: “He estado medio enamorado de la muerte tranquila”. Los griegos concibieron la muerte tranquila en la forma del dios Apolo, que vino a derribarlos con sus llamadas & # 8216 flechas gentiles & # 8217. Eso es lo mejor que él o cualquier otro dios tenía para ofrecer. Ciertamente no tenían ningún consuelo que darle a alguien.

En la obra de Eurípides el HipólitoCuando Hipólito agoniza, la diosa Artemisa, a la que se ha dedicado exclusivamente durante toda su vida y con la que ha tenido una relación muy estrecha, se despide de él. Ella le explica que no es lícito que una deidad esté presente en la muerte porque la contaminación que libera un cadáver la contaminaría.

El único dios que puede haberse interesado un poco en el destino de los moribundos es el dios sanador Asclepio. Cuando Sócrates pasa de este mundo al siguiente en el diálogo de Platón, Critón, él tiene esto que decir, “Le debo un gallo a Asclepio. Asegúrate de que esté pagado ". Se sacrificaron gallos a Asclepio. Sócrates puede estar indicando que Asclepio facilitó su muerte, aunque también es posible que simplemente esté sugiriendo filosóficamente que la muerte es una & # 8216 cura & # 8217 de por vida.

El primer rito de iniciación: Prótesis

en la antigua Grecia, tan pronto como uno moría, las mujeres de una familia comenzaron a llorar y aullar para que todos en el vecindario supieran del fallecimiento del individuo. También fueron las mujeres quienes se hicieron cargo de uno de los cuerpos y lo prepararon para el entierro. Cerraron la boca y los ojos de uno & # 8217s, ataron una correa para la barbilla alrededor de la cabeza y el mentón de uno & # 8217s para evitar que la mandíbula se cayera, lavaron todo el cuerpo, lo untaron con aceite de oliva, vistieron el cuerpo y lo envolvieron en una sábana enrollada, dejando sólo una cabeza expuesta.

Luego colocaron el cuerpo en un sofá con una cabeza apoyada en una almohada y un pie mirando hacia la puerta. Después de hacer todo esto, cantaron cantos fúnebres en un honor.

Esta es la escena que se representa en los primeros jarrones griegos con decoración figurativa. Se llama prótesis, que literalmente significa el tendido del cuerpo. Representa la primera etapa en el proceso que llevará a uno de este mundo al siguiente, & # 8216 de aquí para allá & # 8217, como lo expresaron los griegos. Mientras tanto, familiares y amigos llamaban a la casa y se unían al duelo.

El segundo rito de iniciación: Ekphora

El segundo rito de iniciación es el ekphora. Ekphora significa literalmente & # 8216la realización de un & # 8217s cuerpo & # 8217, específicamente desde un & # 8217s hogar hasta uno & # 8217s lugar de entierro. Según la ley ateniense, el ekphora tenía que tener lugar dentro de los tres días posteriores a la muerte de una de las personas, aunque en climas cálidos es probable que hubiera ocurrido mucho antes. los ekphora tenía que tener lugar antes del amanecer para que no creara una molestia para el público.

Si uno era rico, su cuerpo sería transportado en un carro o carruaje tirado por caballos. Esta escena también está representada en los primeros jarrones con decoración figurativa. También se podrían emplear funerarios profesionales para llevar el cadáver y romper el terreno para el entierro. Estos profesionales eran conocidos como & # 8216ladder men & # 8217 klimakophoroi, porque colocaban el cuerpo de uno de ellos en una escalera, que llevaban horizontalmente.

Si se contratara a empresarios de pompas fúnebres profesionales, no tendrían ningún contacto físico con los miembros de la familia antes de esta fase. Los griegos se habrían sentido conmocionados y consternados por la idea de entregar un cuerpo a profesionales para que lo prepararan para el entierro.

El tercer rito de iniciación: entierro

La alfarería fue una de las más
regalos de fosa común para los muertos. (Imagen: Museo Británico / Dominio público)

Fue uno de los familiares de uno de los que llevaron a cabo el funeral. Tampoco hubo sacerdotes presentes. Los sacerdotes fueron excluidos exactamente por la misma razón por la que Artemisa se ausentó del agonizante Hipólito, para no contaminarse. Porque si incurrían en contaminación, podrían transmitirla a los dioses.

No se sabe absolutamente nada sobre los detalles del funeral. A decir verdad, ni siquiera se sabe si hubo un funeral como tal. Si se pronunciaron palabras tradicionales, no se registraron. Se practicaba tanto la inhumación como la cremación, aunque la cremación, al ser más costosa, se consideraba más prestigiosa. Si uno era incinerado, los familiares de uno recogían las cenizas y las colocaban en una urna, que luego enterraban junto con los obsequios de la tumba.

El regalo más común para las tumbas era la cerámica. De hecho, es por eso que tantos jarrones griegos de alta calidad han sobrevivido intactos, porque fueron colocados intactos en el suelo.

Sin embargo, con el tiempo, los griegos se volvieron más tacaños. Lo más probable es que, si uno moría en el siglo IV a.C., todo lo que se obtendría es un par de frascos de aceite conocidos como lêkythoi lleno de aceite de oliva, el aceite de oliva se consideraba un artículo de lujo. Algunos griegos, sin embargo, eran tan tacaños que compraron lêkythoi con un recipiente interno más pequeño para ahorrarles el gasto de llenar todo el jarrón con aceite. Supuestamente, pensaron que los muertos no se darían cuenta.

Tan pronto como se llenó la tumba, ellos & # 8217d erigieron una lápida sobre ella. Después de completar el tercer y último rito de iniciación, todos los dolientes regresarían al hogar en duelo para un banquete conmemorativo.

Las leyes de entierro

Dado que el cadáver de uno & # 8217 se consideraba una fuente de contaminación, la palabra griega para la contaminación es miasma, que significa lo mismo en inglés: uno tenía que ser enterrado fuera de las murallas de la ciudad. En la antigua Grecia, el entierro dentro de un asentamiento era extremadamente raro después del siglo VIII a. C. Lo mismo sucedió con Roma. El código de derecho romano más antiguo, la Ley de las Doce Tablas, con fecha de 450 a. C., contiene la disposición: "Los muertos no serán enterrados ni quemados dentro de la ciudad".

No es seguro, pero los orígenes de la creencia en la contaminación pueden estar relacionados con una especie de sentido primitivo de la higiene. Los familiares del difunto y # 8217 y cualquier otra persona que hubiera entrado en contacto con el cadáver fueron excluidos de participar en cualquier actividad fuera del hogar hasta que el cadáver haya sido purificado.

La reintegración a la comunidad de los dolientes no se llevó a cabo hasta varias semanas después del funeral. Los familiares de uno & # 8217s también tuvieron que tomar medidas para evitar que el efecto contaminante del cadáver de uno & # 8217s se filtre en la comunidad. Eso incluyó proporcionar un recipiente con agua traída desde fuera de la casa para que los visitantes pudieran purificarse al salir.

Preguntas comunes sobre vivir la muerte griega antigua

Las tres etapas son el tendido o la prótesis, la procesión fúnebre o la ekphora, y el entierro o entierro.

Los griegos honraban a los muertos siguiendo los tres ritos de iniciación, construyendo las tumbas en Ceramicus, el barrio de Potter & # 8217s, y ofreciendo el ajuar funerario.

Los griegos se prepararon para la otra vida siguiendo los tres ritos de paso y ofreciendo el ajuar funerario.

De acuerdo con la ley de entierro en la antigua Grecia, uno tenía que ser enterrado fuera de las murallas de la ciudad.


Creencias romanas sobre la vida después de la muerte

Los funerales de los muertos se llevaron a cabo de una manera bastante organizada. Esto fue realizado principalmente por los profesionales. El profesional proporcionó el duelo de las mujeres, algunas formas de bailes y música también lo acompañaron. Había una diferencia en la forma en que se realizaban los funerales para los pobres y los ricos.

Para los pobres, el funeral fue algo que se llevó a cabo de una manera muy sencilla y para los ricos, el funeral fue a gran escala y fue una ceremonia bastante fantástica.

Había gente que usaba máscaras y eran ellos los que montaban el carro. Los romanos hacían entierro o cremación. En caso de incineración, los muertos eran incinerados en una pira. Los obsequios y las pertenencias personales de la persona se guardaron con él en su tumba.

Y en el caso de la humanización, los cuerpos fueron protegidos. Esta protección se realizó con la ayuda de un saco, una estructura similar a la madera, etc.


Vida futura

Referencias variadas

La creencia en la vida después de la muerte, que mantiene cada una de las religiones abrahámicas, plantea la cuestión metafísica de cómo definir a la persona humana. Alguna forma de dualismo mente-cuerpo, ya sea platónico o cartesiano, en el que la mente o el alma sobreviven a la muerte del ...

… Proporciona un argumento a favor de una vida después de la muerte en la que se remedien las injusticias y desigualdades de la vida actual.

Religiones indias americanas

Las creencias de los aztecas sobre el otro mundo y la vida después de la muerte mostraban el mismo sincretismo. El viejo paraíso del dios de la lluvia Tlaloc, representado en los frescos de Teotihuacán, abrió sus jardines a quienes murieron por ahogamiento, relámpago o como consecuencia…

… La mayoría de los grupos creían en la otra vida. En general, se pensaba que las almas de los recién fallecidos rondarían la comunidad e intentarían inducir a amigos cercanos y familiares a unirse a ellos en su viaje a la eternidad, por lo tanto, los elaborados ritos funerarios y los extensos tabúes asociados con la muerte ...

Religiones europeas antiguas

Creían en una vida después de la muerte, porque enterraban comida, armas y adornos con los muertos. Los druidas, el sacerdocio celta temprano, enseñaron la doctrina de la transmigración de las almas y discutieron la naturaleza y el poder de los dioses. Los irlandeses creían en un otro mundo, imaginado a veces como subterráneo ...

… Y una imagen imaginativa del más allá. Los vivos estaban perpetuamente obsesionados por el cuidado de los muertos, expresado en tumbas elaboradas, magníficamente equipadas y decoradas y en sacrificios fastuosos. Porque, a pesar de las creencias en un inframundo, o Hades, también existía la convicción de que la individualidad de los muertos de alguna manera ...

... aludió al tipo de vida futura que se esperaba de los difuntos. El concepto del más allá, similar al del Elíseo, prevaleció en el período Arcaico, pero en los siglos siguientes uno encuentra un énfasis creciente en el reino más oscuro del inframundo. Los frescos muestran a su gobernante, Hades (Aita etrusca), con una piel de lobo ...

No se conoce una concepción unificada del más allá. Algunos pueden haber creído que los guerreros caídos irían al Valhalla para vivir felices con Odin hasta el Ragnarök, pero es poco probable que esta creencia estuviera muy extendida. Otros parecían creer que no había otra vida. Según el “Hávamál”, cualquier…

... se creía, al reino de Hades por Hermes, pero el camino estaba bloqueado, según los relatos populares, por el río pantanoso Estigia. A través de esto, Caronte transportó a todos los que habían recibido al menos un entierro simbólico, y se colocaron monedas en la boca de los cadáveres para pagar el pasaje.

... las últimas cosas, especialmente la muerte y el más allá) con sus descubrimientos, invirtieron la música, la geometría y la astronomía con valores religiosos. Según su doctrina, el hogar original del alma estaba en las estrellas. Desde allí cayó a la tierra y se asoció con el cuerpo. Por lo tanto, el hombre era un extraño en ...

... la mayoría de las ideas de los romanos sobre la otra vida, a menos que creyeran en las promesas de las religiones misteriosas, eran vagas. Tales ideas a menudo equivalían a una cautelosa esperanza o miedo de que el espíritu en algún sentido viviera, y esto a veces se combinaba con la ansiedad de que los fantasmas de los muertos, ...

Religiones antiguas del Cercano y Medio Oriente

… Para la tumba y el próximo mundo. Los reyes egipcios son comúnmente llamados faraones, siguiendo el uso de la Biblia. El término faraón, sin embargo, se deriva del egipcio per ʿaa (“Gran finca”) y data de la designación del palacio real como institución. Este término para palacio se usó ...

La creencia en una vida después de la muerte y un pasaje a ella es evidente en los entierros predinásticos, que están orientados hacia el oeste, el dominio de los muertos, y que incluyen ajuares de cerámica y posesiones personales de los difuntos. El desarrollo más sorprendente de la práctica mortuoria posterior fue ...

... la noción indoeuropea común del más allá, representada como un pastizal con ganado pastando "para el que parte el rey muerto". Esto sugiere que los antepasados ​​indoeuropeos de los últimos hablantes de hitita, palaico y luviano, así como los de los miembros menores de este grupo, entraron juntos en Anatolia, siguiendo un ...

Religiones modernas

… De la continuación personal de la vida después de la muerte. Muchos de los primeros cristianos bautizados estaban convencidos de que no morirían en absoluto, pero aún experimentarían el advenimiento de Cristo en sus vidas e irían directamente al Reino de Dios sin morir. Otros estaban convencidos de que pasarían por ...

... la capacidad de destruir y revivir a todas las criaturas, que son limitadas y, por lo tanto, están sujetas al poder ilimitado de Dios.

… Surgió la creencia en una vida después de la muerte, por la cual los muertos serían resucitados y sufrirían el juicio divino. Antes de ese tiempo, el individuo tenía que estar contento de que su posteridad continuara dentro de la nación santa. Pero, incluso después del surgimiento de la creencia en la resurrección de los muertos, lo esencialmente étnico ...

... puede haber seguido existiendo, pero ya no debe entenderse como vida. La existencia de los muertos en el sheol, el inframundo, no era la vida sino la sombra o el eco de la vida. Para la mayoría de los escritores bíblicos, esta existencia no tenía experiencia, ni de Dios ni de nada ...

... posición sumamente sutil que equiparaba la inmortalidad con la unión del intelecto humano al intelecto activo del universo, limitándolo así a los filósofos oa quienes aceptaban una adecuada teología filosófica sobre la fe. Poco o ningún consenso fue evidente en el período moderno, aunque el lenguaje de ...

... creencia, cada persona después de su muerte se convierte en un kami, un ser sobrenatural que sigue participando en la vida de la comunidad, la nación y la familia. Los buenos hombres se vuelven buenos y beneficiosos kamis, los hombres malos se vuelven perniciosos. Ser elevado al estado de un ser divino no es ...

… El destino aguarda a los individuos en el más allá. Cada acto, discurso y pensamiento se considera relacionado con una existencia después de la muerte. El estado terrenal está conectado con un estado más allá, en el que el Señor Sabio recompensará el acto, el habla y el pensamiento buenos y castigará los malos. Este motivo para ...

Aspectos teológicos

Concepto de

… El regalo de la inmortalidad esta otra vida fue buscado primero por los faraones y luego por millones de personas comunes. El segundo era el concepto de juicio post mortem, en el que la calidad de vida del difunto influiría en su destino final. Se ha dicho que la sociedad egipcia estaba formada por ...

… Alma con supervivencia personal o continuidad después de la muerte, existe una visión igualmente antigua que enfatiza la continuidad de la vida. Este punto de vista, al que el antropólogo holandés Albertus Christiaan Kruyt le dio el término alma-materia (un término que contrastó con el alma post mórtem), se encuentra principalmente entre los cultivadores de arroz de ...

… Que a la muerte le sigue la vida eterna en cualquier otro lugar —en el Seol, el infierno o el cielo— y que eventualmente habrá una resurrección física universal. Otros (por ejemplo, budistas, órficos, pitagóricos y Platón) han sostenido que las personas renacen en el flujo del tiempo de la vida en la tierra.

Para dar nueva vida a los muertos más allá de la tumba, los dolientes pueden permitir que la sangre que da vida caiga sobre el cadáver sacramentalmente. En este ciclo de ideas y prácticas sacramentales, la entrega, conservación y promoción de la vida, junto con el establecimiento de un vínculo de unión con el orden sagrado, son ...

... es apelar a una vida después de la muerte las dificultades de esta vida, ya sean causadas por el mal natural o por el mal moral, no son nada comparadas con las recompensas por venir, y son un factor necesario en la preparación para la vida después de la muerte a través del entrenamiento moral y maduración. Esta línea…


El teatro en la antigua Grecia

El teatro de la antigua Atenas se representó en el ágora. Más tarde, los eventos teatrales se hicieron tan grandes que se trasladaron a un auditorio al aire libre debajo de la Acrópolis de Atenas. Se construyeron auditorios al aire libre en la mayoría de las ciudades griegas, algunos con capacidad para 15.000 espectadores.

Las representaciones teatrales se convirtieron en parte de la fiesta religiosa de Dioniso, el dios del vino. El festival duró cinco días y tuvo hasta tres dramas completos representados en un día. Los dramas fueron juzgados concursos, y los actores y dramaturgos ganadores recibieron premios. Los dramas fueron patrocinados por ciudadanos ricos conocidos como Choregoi.

En la antigua Grecia se desarrollaron tres tipos de obras de teatro: la tragedia, la comedia y la sátira. Una tragedia se trataba de héroes y dioses griegos. Las tramas a menudo mostraban conflictos entre hombres y dioses, y los finales a menudo eran malos para los personajes principales. Las comedias eran a menudo historias de base política o presentaban conflictos entre hombres y mujeres. Estaban destinados a ser divertidos y desenfadados. Las sátiras eran a menudo historias ingeniosas, cortantes e irónicas que se burlaban del vicio y la locura humanos.

Las primeras obras se realizaron con un solo actor, pero luego se expandieron los elencos para incluir a tres actores. Los actores llevaban máscaras que indicaban a la audiencia la identidad y posiblemente el estado de ánimo del personaje en un momento o escena determinados de la obra. Un actor interpretó varios papeles, cambiando máscaras para retratar diferentes personajes. Los trajes de actor y rsquos señalaron el estado de ánimo y las características del personaje. La ropa más oscura se asoció con el personaje trágico, y la ropa ligera se asoció con papeles felices o divertidos.


La historia del juego en la antigua Grecia

Las formas modernas de juego se remontan a muchas culturas antiguas, desde China hasta Egipto y más allá.

Sin embargo, la verdad es que la antigua Grecia jugó un papel más importante en el desarrollo de las formas modernas de juego que la mayoría de los lugares.

Una mirada a los orígenes del juego en Grecia

No esperaría casinos con las máquinas tragamonedas de pago más alto, pero la Antigua Grecia tenía sus propios medios para realizar apuestas.

Los juegos de azar basados ​​en lanzar dados y monedas se han mencionado en algunos libros e historias griegas antiguas. Algunas fuentes sugieren que el juego de póquer también pudo haber comenzado aquí, aunque otras piensan que se jugó por primera vez en China o Persia.

Dados icosaedronales griegos antiguos

Lo que no se puede negar es que los juegos de azar eran muy populares en esta cultura, con lugares especiales donde los jugadores podían ir a realizar algunas apuestas. Lo podemos ver también en esculturas y pinturas, con gente apostando por peleas y carreras.

Curiosamente, se dice que los dioses Hermes y Pan hicieron apuestas, mientras que Zeus, Poseidón y Hades decidieron cómo dividir el mundo dibujando pajitas. Sin embargo, algunos filósofos griegos estaban en contra del juego y pensaban que dañaría la civilización si no se controlaba.

Algunos de los juegos más populares

Uno de los juegos que a menudo se menciona como popular en la antigüedad en Grecia es Heads and Tails. Esto se jugó por primera vez con conchas, antes de que la introducción de monedas hiciera más fácil apostar en qué lado terminaría mirando hacia arriba. Pitch and Toss era un juego que consistía en lanzar monedas a la pared.

Quizás el juego más simple de todos fue el llamado Par Impar Ludere. Un jugador sostenía un montón de objetos pequeños en una mano y la otra persona tenía que adivinar si el número total de objetos era par o impar. Los griegos apostaron por el resultado, y también se hizo popular en el imperio romano. También se cree que el juego fue un factor importante en los primeros Juegos Olímpicos.

Se afirma que los Palamedes inventaron los dados cuando Troya estaba sitiada y que esto llevó a que sus dados se usaran en un Templo de la Fortuna en Corinto. Sin embargo, esto parece ser solo una leyenda, ya que la primera mención de los dados en Grecia se remonta al 6000 a. C.

Una teoría que atraviesa el amor de los antiguos griegos por los juegos de azar es que los dioses controlaban los juegos. Incluso el resultado de un juego de pura suerte como tirar los dados se consideraba en manos de los dioses.

Astragali griego antiguo utilizado para jugar juegos de azar

Apuestas modernas en Grecia

Si avanzamos rápidamente en el tiempo hasta el día de hoy, podemos ver que los juegos de azar en Grecia son legales en los establecimientos terrestres. Todas las grandes ciudades tienden a tener algunos casinos, mientras que las islas que son populares entre los turistas también ofrecen casinos a los visitantes.

Entre los casinos más famosos del país se encuentra el Mont Parnes Regency Casino de Atenas. Data de la década de 1960 y se encuentra en el Bosque Nacional de Parnitha. Un lujoso hito en la capital, este es un elegante casino con muchas formas diferentes de jugar.

Aparentemente, el casino más antiguo de Grecia se construyó en Loutraki a principios del siglo XX. La mayoría de los casinos modernos aquí son establecimientos refinados y exclusivos donde los jugadores pueden apostar cómodamente.

La Comisión de Juego de Grecia controla las apuestas en el país, mientras que los jugadores en Grecia pueden acceder de manera fácil y segura a una amplia gama de casinos en línea y sitios de apuestas deportivas de operadores extranjeros. Esto significa que, actualmente, la gente puede apostar en línea por apuestas como fútbol, ​​tenis y baloncesto.

Sin embargo, todavía es un área gris, ya que los reguladores griegos y los tribunales europeos han emitido opiniones diferentes sobre la legalidad de los juegos de azar en línea en Grecia.

Por lo tanto, vale la pena estar atento a cualquier cambio futuro en la legislación en esta industria en rápido movimiento que podría tener un efecto en los actores griegos.


La vida griega representada en Homer & # 39s Epic: The Odyssey

En la epopeya de Homero, La Odisea, se revelan varios aspectos de los antiguos griegos a través de las acciones, los personajes, la trama y la redacción. Homero usa su habilidad como dramaturgo, poeta y filósofo para informar a la audiencia de la historia, el orgullo y los logros de los antiguos griegos y, también, para hablar de los muchos valores y la cultura multifacética de la antigua casta griega. . Los griegos tenían numerosos valores y costumbres, de los cuales los principios primarios son las características mentales de un individuo, las características físicas de un individuo, las recreaciones y pasatiempos que disfrutaban los griegos, la forma en que un anfitrión trata a un invitado, los aspectos religiosos, y finalmente, la visión de los griegos sobre la vida, revelada en La Odisea que muestra y define su cultura

Una de las características mentales más destacadas que valoraban los antiguos griegos era la inteligencia y el ingenio de un individuo. Esto se puede discernir de La Odisea debido a muchos casos y eventos en los que Ulises usa el ingenio de su cerebro y otros trucos para salir de una situación de riesgo. Ejemplos de esto son cuando le dice a Polifemos los Cíclopes que su nombre es Nadie, cuando supera la magia de Circe con la ayuda de moly, cuando llena los oídos de sus hombres con cera y se ata a un poste para que él y sus hombres puedan pasar. las Sirenas a salvo, y cuando se disfraza de mendigo y revela su verdadera identidad a unos pocos. Ulises es, con mucho, "el mejor de los hombres mortales en cuanto a consejos e historias" (Libro XIII, 297-298). Además, se dice que Ulises puede igualar a un dios en ingenio y engaño (Libro XIII, 291-295). Penélope, la esposa de Ulises, también usa su ingenio y sus engaños para salir de situaciones. Un ejemplo de esto es cuando finge estar tejiendo un sudario para Laertes, pero en realidad deshace por la noche tanto como lo había hecho por la mañana. Atenea, la diosa de la sabiduría, proporciona otro ejemplo del uso del ingenio y los trucos. Atenea disfraza a Odiseo de mendigo y también lo rodea con una niebla en numerosas ocasiones para que sus antiguos conocidos no lo vean ni lo reconozcan.

Otras características mentales importantes que los griegos valoraban son la fidelidad y la lealtad. Hay muchísimos ejemplos de lealtad y fidelidad en La Odisea. Los cuatro ejemplos más significativos son Penélope, Eumaios, Philoitois y Argos. Penélope es la fiel esposa de Odiseo que nunca se acostó con nadie más que con Odiseo, a pesar de que fue tentada. Ella también se mantiene con la esperanza de que Ulises todavía esté vivo y algún día regrese a casa. Eumaios es el fiel porquerizo que ayuda a Ulises a vencer a los pretendientes. Philoitois es la leal manada de bueyes que también ayuda a Ulises a vencer a los pretendientes. Argos es el "perro ... de corazón paciente" (Libro XVII, 292) de Ulises. Ulises prueba a estos individuos (excepto al perro) para decidir si puede confiar en ellos o no. También prueba a otros individuos, como los sirvientes, para ver si le son leales o no.

Las características físicas eran tan importantes para los griegos como las mentales. La fuerza era una de las características físicas más dominantes. La fuerza era una prueba común y se usaba para medir el lugar de un hombre en el mundo real. Penélope usó la fuerza como prueba para la competencia de los pretendientes. El concurso consistía en poder encordar el arco de Ulises y dispararlo con precisión, el premio (matrimonio de Penélope) va para “el que toma el arco en sus manos, lo encorda con mayor facilidad y lanza una flecha limpia a través de los doce”. ejes ”(Bk. XXI, 75 - 76). La fuerza también era parte de la competencia de Phaiakian. Se necesitaba fuerza para el lanzamiento de disco (en el que se destacó Ulises), la lucha libre y el boxeo. Además, a los griegos les encantaba la competencia, como lo demuestra el hecho de que instaban a Ulises e Iros a luchar. Y cuando finalmente vieron sangre, se volvieron locos, riendo y vitoreando como si fuera lo más emocionante del mundo.

Los griegos disfrutaban de muchas recreaciones y pasatiempos, de los cuales predominaban el baile, el canto y la narración. Los faiaquianos eran conocidos por sus habilidades terpsicoreanas y, como dijo Ulises, el asombro y el asombro se apoderaron de él cuando vio la danza (Libro VIII, 382 - 384). Cantar también era una recreación muy querida. Los cantantes eran bien conocidos y queridos por todos. Como dijo Odiseo a Demodokos, “Demodokos, además de todos los mortales te valoro a ti” (Libro VIII, 487). El único superviviente de los que habían conspirado contra Ulises fue Femio, el cantante de los pretendientes. Sobrevive porque Ulises le permite vivir gracias al don de la voz de los dioses. Como dice Telémaco sobre los pretendientes: "Esto es en lo único que piensan, en la lira y el canto" (Libro 1, 159). La narración es otra virtud más y es apreciada por los griegos. Menelaos cuenta sus aventuras con Telémaco, Odiseo cuenta sus aventuras con los faiacos y Odiseo cuenta sus falsas aventuras con Eumaio. Otro pasatiempo que los griegos disfrutaban mucho es el banquete o, en términos crudos, comer y beber. Los pretendientes siempre comen y proporcionan en abundancia, a pesar de que comen ganado de Ulises y beben vino de Ulises. Tienen muchos concursos de bebida para ver quién puede beber más y, por lo general, al final los concursantes suelen volverse bacanal. Los pretendientes siempre tienen un "deseo de comer y beber" (Bk. 1, 150) según Telémaco.

El trato a un invitado fue muy importante en la época de los antiguos griegos. Definió tu clase social y también te ayudó a favorecer a Zeus, que es el dios de los viajeros y los invitados. Una amplia gama de cosas se pueden clasificar como hospitalidad, pero la idea general es siempre la misma y no puede cambiar. La hospitalidad consistía en brindar a cualquier extraño comida, calidez, refugio y consuelo antes de hacerle preguntas como su nombre, herencia o medio de transporte. La hospitalidad también significó un oído para cada palabra y respeto por cada palabra también. Además, el anfitrión es responsable de ser la égida del huésped mientras el huésped reside en su casa. Telémaco siente que no puede proporcionarle esto a su padre (disfrazado de mendigo) y, por lo tanto, se avergüenza. “¿Cómo puedo recibir y entretener a un invitado extraño en mi casa? Yo mismo soy joven y no tengo fe en la fuerza de mis manos para defender a un hombre, si alguien más se pelea con él (Bk. XVI, 69-72). Los ejemplos de buena hospitalidad abundan a lo largo de La Odisea, como cuando Atenea va a Telémaco en Ítaca, cuando Telémaco va a Néstor, cuando Telémaco va a Menelao, cuando Odiseo va a los faiacos y cuando Odiseo va a Eumaios. Se esperan regalos a la llegada, pero los regalos a la salida no siempre están presentes. Sin embargo, en el caso de un anfitrión rico, generoso o amable, se pueden intercambiar regalos, incluso aquellos con valores incalculables e inmensos.

Las creencias religiosas y los aspectos de la cultura griega antigua están muy definidos y son estrictos. Los griegos creían que Zeus y otros dioses olímpicos vigilaban el mundo y que estos dioses decidían su futuro. También creían que la voluntad de los dioses podía cambiarse con sacrificios. Es por eso que Ulises, Telémaco y muchos, muchos otros personajes hicieron tantos sacrificios a los dioses. Estos personajes también rezan a los dioses para que los dioses puedan escucharlos y cumplir sus deseos. Los griegos también creían en la "vida" después de la muerte en el inframundo con Hades. Otro aspecto religioso de la cultura griega fueron las profecías. Las profecías y los profetas eran abundantes, pero el suministro de profecías y profetas precisos era mucho menos abundante, y la demanda de estos era alta, lo que los hacía escasos. Los dos profetas principales de La Odisea fueron Teiresias y Theoklymenos. Tiresias era un profeta muerto a quien Ulises fue a consultar en el inframundo. Profetizó la mayoría de los aspectos del viaje de Ulises con precisión y gracias a él, Ulises pudo sobrevivir a sus vagabundeos. Theoklymenos era un profeta de una familia de profetas. Podía profetizar con bastante precisión a partir de los augurios de las aves, como se muestra cuando profetiza que Telémaco “tendrá poder señorial para siempre” (Libro XV, 534). Homero usa bastantes augurios de aves en La Odisea, uno al principio para advertir a los pretendientes del regreso a casa de Odiseo (Libro II, 146-154), y dos cerca del final, ambos para simbolizar el triunfo de Odiseo sobre los pretendientes.

Los antiguos griegos tenían una visión optimista de la vida, una visión que produce finales agradables y felices, pero que, lamentablemente, no es muy realista. Los griegos creían que al final de cualquier dificultad o resistencia, la justicia emergería y mostraría su sonrisa victoriosa a la víctima. Creían que la perseverancia y la determinación se materializarían al final. Los griegos también creían que en una batalla entre el bien y el mal, el bien triunfará al final. La opinión de que el bien triunfa contra el mal se puede ver en la epopeya cuando Ulises (el bien) mata a todos los pretendientes (malos) contra probabilidades prácticamente imposibles. La opinión de que la justicia emergerá al final se muestra en La Odisea cuando todos los sirvientes y doncellas infieles son asesinados.La visión de la perseverancia y la determinación que triunfan se prueba por el hecho de que Ulises "quien, después de mucho sufrimiento, regresó al menos en el año veinte a su propio país" (Bk. XXIII, 101-102) sobrevivió a todos sus naufragios, ataques y otros obstáculos y finalmente logra regresar a casa.

A lo largo de La Odisea, los valores griegos y la cultura griega están constantemente moldeados por el fluir de la pluma del autor, que narra una historia con una trama intrincada. La epopeya permite al público de hoy conocer los tiempos en que los hombres lucharon con las manos y la cabeza, cuando los dioses dominaban las culturas y cuando el amor y la fidelidad significaban algo. La Odisea es una gran obra de un gran poeta, Homero, que no solo captura la esencia del espíritu y la cultura griega antigua, sino que también cuenta una historia que puede transmitirse de generación en generación, sin temor a envejecer.


Secciones cónicas en la antigua Grecia

El conocimiento de las secciones cónicas se remonta a la antigua Grecia. A Menaecmo se le atribuye el descubrimiento de secciones cónicas alrededor de los años 360-350 a. C. se informa que los usó en sus dos soluciones al problema de "doblar el cubo". Siguiendo el trabajo de Menaecmo, estas curvas fueron investigadas por Aristeo y Euclides. La siguiente gran contribución al crecimiento de la teoría de la sección cónica fue hecha por el gran Arquímedes. Aunque obtuvo muchos teoremas sobre las cónicas, no parece que haya publicado ningún trabajo dedicado exclusivamente a ellas. Apolonio, por otro lado, es conocido como el "Gran Geómetro" sobre la base de su texto Secciones cónicas, una serie de ocho "libros" (o en términos modernos, "capítulos") sobre el tema. Los primeros cuatro libros nos han llegado en el griego antiguo original, pero los libros V-VII se conocen solo por una traducción al árabe, mientras que el octavo libro se ha perdido por completo.

En los años que siguieron a Apolonio, la tradición geométrica griega comenzó a declinar, aunque hubo avances en astronomía, trigonometría y álgebra (Eves, 1990, p. 182). Pappus, que vivió alrededor del 300 d.C., avanzó en el estudio de las secciones cónicas de alguna manera menor. Después de Pappus, sin embargo, las secciones cónicas fueron casi olvidadas durante 12 siglos. No fue hasta el siglo XVI, en parte como consecuencia de la invención de la imprenta y la consiguiente difusión de la obra de Apolonio, que se produjo algún progreso significativo en la teoría o aplicaciones de las secciones cónicas, pero cuando ocurrió, en la obra de Apolonio. Kepler, fue parte de uno de los mayores avances en la historia de la ciencia.

Este artículo investigará la historia de las secciones cónicas en la antigua Grecia. Examinaremos el trabajo de los matemáticos antes mencionados relacionados con las secciones cónicas, prestando especial atención al texto de Apolonio sobre las secciones cónicas.

Pappus y Proclo

Puede parecer extraño comenzar con estas figuras tardías, pero la importancia de Pappus y Proclus debe establecerse temprano. Si bien Pappus de Alejandría era un matemático y geómetra competente, aquí nos interesa su trabajo como comentarista e historiador matemático. Residiendo principalmente en Alejandría, aproximadamente 500 años después de que personas como Euclides, Arquímedes y Apolonio aparecieran en la escena intelectual, Pappus escribió varios comentarios sobre las obras de muchos grandes matemáticos del pasado (¡es decir, de su pasado!). Una de sus contribuciones más importantes fue su Colección Matemática, una serie de ocho libros que incluían comentarios y notas históricas, así como varias proposiciones originales y ampliaciones de obras existentes. En el Libro VII, analiza doce tratados del pasado que incluían Secciones cónicas de Apolonio, Loci de superficie de Euclides y Loci sólido de Aristaeus (Eves, 1990, p. 183-4). Pappus nos da una gran comprensión de la vida y obra de los geómetras griegos. Tuvo acceso a obras que ahora se han perdido y, además de ser un hábil matemático por derecho propio, proporciona un vínculo valioso con la geometría griega antigua.

Proclo, que vivió durante el siglo V d.C., también fue un notable historiador matemático. Al igual que Pappus, tuvo acceso a documentación original de las matemáticas de las épocas clásica y helenística que ya no está disponible. Su Resumen Eudemiano es una fuente invaluable de información sobre el trabajo matemático griego temprano hasta Euclides (Eves, 1990, pp. 74-75). En este artículo se recurrirá a su autoridad, particularmente al examinar la influencia de Aristeo y Euclides.

Menaechmus

Según la tradición, la idea de las secciones cónicas surgió de la exploración del problema de "doblar el cubo". Este problema, y ​​la historia que lo acompaña, se presenta en una carta de Eratóstenes de Cirene al rey Ptolomeo Euergetes, que nos ha llegado según lo citado por Eutocio en su comentario sobre Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes, que aparece en Heath. Eratóstenes le dijo al rey que el legendario rey Minos deseaba construir una tumba para Glaucus y sintió que sus dimensiones actuales, cien pies de lado, eran inadecuadas.

    Demasiado pequeño tu plan para encuadernar una tumba real. Que sea doble pero en su forma justa No falles, sino apresúrate a doblar por todos lados.

Claramente, duplicar cada lado aumentará el volumen en un factor de ocho, no en el factor deseado de dos. Los matemáticos trabajaron diligentemente en este problema, pero tenían tremendas dificultades para resolverlo. Se produjo un gran avance cuando Hipócrates de Quíos redujo el problema al problema equivalente de "dos proporcionales medios", aunque esta formulación resultó no ser más fácil de manejar que la anterior (Heath, 1961, p. Xviii). Eratóstenes continuó mencionando a los Delianos, que tenían interés en exactamente el mismo problema de "doblar un cubo". Cuando pidieron una solución a los geómetras de la Academia de Platón en Atenas, dos geómetras encontraron respuestas al problema de las proporciones medias equivalentes. Archytas de Tarentum usó "semicilindros", y Eudoxus usó "líneas curvas". Estas soluciones, sin embargo, solo dieron demostraciones de la existencia del número deseado como una cantidad geométrica, pero en realidad no pudieron construir mecánicamente la proporción media, por lo que no llegaron al punto de aplicación práctica hasta Menaechmus, quien lo logró con considerable dificultad (Heath, 1961, págs. xvii-xviii).

La mención anterior de las proporciones medias de Hipócrates es de interés. Lo que esto significa es que, dadas dos longitudes a y b, encontramos xey tales que a: x :: x: y y x: y :: y :: b, o en notación moderna a / x = x / y = y / b si denotamos esta razón por r, entonces r ^ 3 = (a / x) (x / y) (y / b) = a / b, y como señaló Hipócrates, que si el segmento a es el doble de siempre que el segmento b, entonces la duplicación del cubo se resolvería usando la longitud r. No hace falta decir que no tenía una notación algebraica capaz de respaldar el argumento en la forma que le hemos dado, y tuvo que argumentar directamente.

Menaecmo fue alumno de Eudoxo, contemporáneo de Platón (Heath, 1921, p. 251). Mucho de lo que sabemos sobre el trabajo de Menaecmo nos viene de los comentarios de Eutocio, un erudito griego que discutió las obras de muchos matemáticos de su época y de épocas anteriores, incluidos Menaecmo, Arquímedes y Apolonio. En sus soluciones, Menaechmus encuentra esencialmente la intersección de (ii) y (iii) (vea la Solución 1, a continuación), y luego, alternativamente, la intersección de (i) y (ii) (vea la Solución 2, a continuación). La demostración de Menaechmus trata del caso general de las proporciones medias. Una vez que tengamos esto, podemos tomar el caso especial a = 2b para duplicar el cubo. Antes de dar estas dos soluciones, cabe señalar que Menaechmus no usó los términos "parábola" e "hipérbola"; estos términos se deben a Apolonio. En cambio, llamó a una parábola una "sección de un cono en ángulo recto" y a una hipérbola una "sección de un cono de ángulo obtuso" (Heath, 1921, p. 111).

    Solución 1:
  • Sean AO, AB dos rectas dadas tales que AO> AB y que formen un ángulo recto en O.
  • Suponga que el problema se resuelve y que las dos medias proporcionales se miden OM a lo largo de BO producido y ON a lo largo de AO producido. (Heath, 1921, pág. 253).
  • Completa el rectángulo OMPN.
  • Como AO: OM = OM: ON = ON: OB, tenemos por multiplicación cruzada las siguientes relaciones:
  • (1) OB.OM = ON & sup2 = PM & sup2 [el "." se refiere a la multiplicación], de modo que P se encuentra en una parábola que tiene O como vértice, OM como eje y OB como latus recto.
  • (2) AO.OB = OM.ON = PN.PM, tal que P se encuentra en una hipérbola con O como su centro y OM y ON como sus asíntotas.
  • Para encontrar el punto P, debemos construir la parábola en (1) y la hipérbola en (2), y una vez que lo hacemos, la intersección de los dos resuelve el problema, para AO: PN = PN: PM = PM: OB .
    Solucion 2:
  • Suponga que se dan AO y AB y que el problema se resuelve como en los dos primeros pasos de la Solución 1.
  • Nuevamente, tenemos AO: OM = OM: ON = ON: OB, dándonos
  • (1) como en la solución 1, la relación OB.OM = ON & sup2 = PM & sup2, tal que P se encuentra en una parábola que tiene O como vértice, OM como eje y OB como latus recto.
  • (2) la relación AO.ON = OM & sup2 = PN & sup2, tal que P se encuentra en una parábola que tiene O como vértice, ON como eje y OA como latus recto.
  • Para encontrar el punto P, debemos construir las dos parábolas descritas en (1) y en (2). La intersección nos da el punto P tal que AO PN = PN: PM = PM: OB

Si bien es evidente que Menaechmus utilizó lo que más tarde se conoció como secciones cónicas, ¿realmente tenía en mente una construcción que involucrara un cono cuando resolvió el problema de doblar el cubo? Heath argumenta que lo hizo, por la siguiente razón. En la misma carta de Eratóstenes a Ptolomeo mencionada anteriormente, Eratóstenes afirmó, en relación con una discusión de su propia solución al problema, que no hay necesidad de recurrir a "cortar el cono en las tríadas de Menaecmo" (Heath, 1961, pág. xviii). Además de esta cita que aparece en el comentario de Eutocio sobre Arquímedes, Proclo confirma que las cónicas fueron descubiertas por Menaechemus (Heath, 1961, xix).

Ahora que hemos visto cómo Menaechmus aplicó por primera vez las secciones cónicas, uno podría preguntarse, "¿Cómo pensó en obtener estas curvas de un cono?". Aunque prácticamente no hay información sobre esta cuestión en sí, la intuición nos dice que las agudas habilidades de observación de los matemáticos griegos se sentirían atraídas por tales formas. Es probable que la primera sección cónica notada en la naturaleza haya sido una elipse. Si se corta un cilindro en un ángulo que no sea recto con respecto a su eje, el resultado es una elipse. De hecho, Euclides señala en sus Fenómenos que un cono o cilindro cortado por un plano no paralelo a la base da como resultado una sección de un cono de ángulo agudo que es "similar a un [escudo]" (Heath, 1921, 125). Una extensión natural de este fenómeno sería el corte de un cono de manera similar. Entonces quizás movieron el plano de corte para que no corte el cono por completo. ¿Qué tipo de curvas resultan? ¿En qué se parecen cada una de sus propiedades a las otras secciones? ¿En qué se diferencian? Esta es una discusión posible, y probablemente simplificada, del flujo de ideas que llevó al estudio de las secciones cónicas.

Neugebauer sugiere que el origen del concepto está en la teoría de los relojes de sol, ya que el haz de rayos de luz involucrado en el diseño de los relojes de sol es un cono que está cortado por el plano del horizonte en una hipérbola, y una parte de esa hipérbola es luego marcado en el reloj de sol.

Según Géminus, los antiguos hicieron girar un triángulo rectángulo alrededor de una de sus patas para determinar un cono. Además, solo se conocían los conos derechos. De estos conos en ángulo recto, hay tres tipos. Evidentemente, el ángulo vertical en la parte superior del cono podría ser de menos de noventa grados, más de noventa grados o exactamente noventa grados (Heath, 1921, p. 111). Veremos más adelante cuando estudiemos a Apolonio, que hay una diferencia fundamental en los tipos de conos que él considera. El segmento que conecta el "punto superior" del cono con el centro de la base circular es siempre un ángulo recto. Apolonio considera que una forma más general del cono no asume el ángulo recto (Heath, 1961, p. 1). Volviendo a los conos especializados del relato de Gémino, estos conos se denominaron conos de ángulo agudo, de ángulo obtuso y de ángulo recto (que no deben confundirse con los conos rectos, que se refieren a la revolución de un triángulo rectángulo). Además de los dos nombres de hipérbola y parábola dados anteriormente, una elipse se conocía como una "sección de un cono de ángulo agudo" (Heath, 1921, p. 111).

No se sabe nada de los métodos utilizados por Menaechmus para tratar estas curvas (Cajori, 1924, p. 27). Heath analiza lo que él llama su método "probable", basado en el supuesto de que las construcciones de Menaechmus de sus curvas probablemente serían bastante simples y directas, pero lo suficientemente instructivas como para demostrar las propiedades sobresalientes. Esto no se discutirá más. Afortunadamente, tenemos una extensa documentación de los tratados de geómetras posteriores, en particular Apolonio, sobre el tema de las secciones cónicas.

Aristeo y Euclides

Llegamos a continuación a las obras (de nuevo, perdidas) de Aristaeus "el mayor" y del célebre Euclides sobre secciones cónicas. Dado que no tenemos las obras originales de estos dos hombres sobre secciones cónicas, nuestro conocimiento de ellas se deriva de los comentarios de Pappus, cuyos escritos se discuten en Heath, utilizando una traducción de Hultsch:

Apolonio completó los cuatro libros de las cónicas de Euclides, que añadió cuatro más y produjo ocho libros de cónicas. Aristeo, que escribió los cinco libros aún existentes de loci sólidos conectados con las cónicas, llamó a una de las secciones cónicas la sección de un cono en ángulo agudo, a otra la sección de un cono en ángulo recto y al tercero la sección de un obtuso. cono en ángulo. Apolonio dice en su tercer libro que el `` lugar con respecto a tres o cuatro líneas '' no había sido completamente investigado por Euclides y, de hecho, ni el propio Apolonio ni nadie más podría haber agregado en lo más mínimo lo que fue escrito por Euclides con el La ayuda de aquellas propiedades de las cónicas que habían sido probadas hasta la época de Euclides, el propio Apolonio, es prueba de este hecho cuando dice que la teoría de ese lugar no podría completarse sin las proposiciones que se había visto obligado a elaborar por sí mismo. Ahora Euclides -considerando a Aristaeus como merecedor de crédito por los descubrimientos que ya había hecho en las cónicas, y sin anticiparlo o desear construir de nuevo el mismo sistema, siendo además de ningún modo contencioso y, aunque exacto, sin embargo ningún fanfarrón como el otro- escribió tanto sobre el lugar como fue posible por medio de las cónicas de Aristeo, sin pretender completar sus demostraciones. (Heath, 1961, págs. Xxi-xxii)

Antes de discutir las implicaciones de las palabras de Pappus, recurrimos a Proclus para que nos dé una idea del concepto de "locus sólido". Él define un locus como "una posición de una línea o superficie que involucra una y la misma propiedad" (Heath, 1961, p. Xxxii). Los loci se dividen en dos clases, "loci de línea" y "loci de superficie". Dentro de los loci de línea se encuentran los "loci de planos" y los "loci de sólidos". Los lugares geométricos planos se generan en un plano, como la línea recta. Los loci sólidos se generan a partir de una sección de una figura sólida, es decir, la hélice cilíndrica y las secciones cónicas. Pappus hace una división de lo que Proclus llama los loci sólidos. Divide esta categoría en "loci-lineales" y "loci-sólidos", que no debe confundirse con lo que Proclus llama loci-sólidos. Los loci sólidos, para Pappus, son secciones de conos (parábolas, elipses e hipérbolas), y los loci lineales son líneas más complicadas que líneas rectas, círculos y secciones cónicas (Heath, 1961, p. Xxxiii).

Con esta información, junto con el pasaje de Pappus, Heath sacó varias conclusiones sobre las obras de Euclides y Aristaeus sobre las secciones cónicas. Primero, el tratamiento de Aristaeus de los loci sólidos se concentró en parábolas, elipses e hipérbolas, es decir, consideró que las cónicas eran loci. En segundo lugar, el tratado de Aristaeus sobre loci sólidos fue lo primero y contenía ideas y teoremas más originales que el de Euclides. Pappus dice que Euclides escribió sobre la teoría básica de las secciones cónicas, apuntando sus proposiciones a preparar a los lectores para analizar los lugares sólidos de Aristaeus (Heath, 1961, p. Xxxii). En esta misma línea, Heath remarca que "Euclid's Conics fue una recopilación y reordenamiento de la geometría de las cónicas hasta ahora conocida en su tiempo, mientras que la obra de Aristaeus era más especializada y más original" (Heath, 1921, pp. 116 -7). En tercer lugar, Aristeo usó los términos "sección de cono en ángulo recto, en ángulo agudo y en ángulo obtuso", los nombres aceptados para estas curvas hasta Apolonio. Finalmente, las cónicas de Euclides fueron reemplazadas por las secciones cónicas de Apolonio.

Además de las ideas anteriores, una clave para extraer del trabajo de Aristaeus y Euclides es que fueron una fuente en la que los matemáticos basaron su trabajo, o al menos consultaron. Veremos esto en acción mientras continuamos nuestra discusión con Arquímedes y Apolonio.

Arquímedes

"Ningún estudio de la historia de las secciones cónicas podría estar completo sin un relato tolerablemente exhaustivo de todo lo relacionado con el tema que se puede encontrar en las obras existentes de Arquímedes" (Heath, 1961, p. Xli). No hay evidencia fundamentada de que alguna vez haya escrito una obra completa dedicada a las secciones cónicas, pero su conocimiento del tema es obvio en las obras que tenemos. Entre los tratados que publicó Arquímedes se encontraba Cuadratura de la parábola, conoides y esferoides, cuerpos flotantes y equilibrio plano. Estas obras comparten un hilo conductor: requieren el uso extensivo de las propiedades de las parábolas, la especialidad de Arquímedes entre las secciones cónicas (Heath, 1921, p. 124).

Heath dice que las cónicas de Euclides son la fuente probable a partir de la cual Arquímedes adopta los principios básicos de las cónicas que asume sin pruebas (Heath, 1921, p. 122). Utiliza los nombres "antiguos" anteriores a Apolonio para las secciones cónicas (es decir, sección de un cono de ángulo agudo = elipse) (Heath, 1961, p. Xlii). Antes de continuar es importante aclarar su vocabulario. Los diámetros son lo que consideramos los ejes de la elipse (tanto el mayor como el menor). Estos dos diámetros están conjugados. El eje de una parábola también se llama diámetro, y los otros diámetros se denominan "líneas paralelas al diámetro". El diámetro de una hipérbola es la porción de lo que consideramos el eje dentro de la hipérbola de una sola rama (Arquímedes considera que la segunda rama es parte de la misma curva). El centro de la hipérbola se denominó el punto en el que se unen las "líneas más cercanas a la sección de un cono de ángulo obtuso" (asíntotas) (Heath, 1921, p. 122).

Heath cita varias suposiciones que Arquímedes hizo sobre la base de trabajos anteriores de personas como Euclides y Aristaeus. Con referencia a las cónicas centrales:

    La línea recta trazada desde el centro de una elipse, o el punto de intersección de las asíntotas de una hipérbola, a través del punto de contacto de cualquier tangente, biseca todas las cuerdas paralelas a la tangente En la elipse, las tangentes en los extremos de cualquiera de dos diámetros conjugados son ambos paralelos al otro diámetro. Si un cono, recto u oblicuo, se corta por un plano que se encuentra con todos los generadores, la sección es un círculo o una elipse. Si una línea entre las asíntotas se encuentra con una hipérbola y se divide en dos en el punto de la explanada, tocará la hipérbola Si x, y son líneas rectas dibujadas, en direcciones fijas respectivamente, desde un punto de una hipérbola para encontrar las asíntotas, rectángulo xy es constante. Con referencia a las parábolas en particular, las cuerdas paralelas están bisecadas por una línea recta paralela al eje, que pasa por el punto de contacto de la tangente paralela a las cuerdas. Si la tangente en Q coincide con el diámetro PV en T, y QV es la ordenada del diámetro, PV = PT [ver la definición de ordenada en Apolonio]. Todas las parábolas son similares (Heath, 1921, págs. 123-24)

La naturaleza de los escritos de Arquímedes parece ser tal que solo demuestra lo que no es razonablemente obvio para un matemático capacitado. Sin embargo, lo que era obvio para Arquímedes no siempre coincide con lo que es obvio para la mayoría de la gente. Según el mismo argumento, las proposiciones que sí prueba Arquímedes tienden a ser muy difíciles. Arquímedes parecía estar menos preocupado por desarrollar un tratamiento completo y sistemático de las cónicas (que en cualquier caso era accesible en las obras ahora perdidas de otros), sino más bien por usar lo que ya estaba establecido y / o probado fácilmente para desarrollar teoremas profundos y desafiantes. . Por esta razón, este artículo, aunque ha proporcionado un trasfondo básico de los supuestos y las tendencias básicas del estudio de Arquímedes, no examinará las pruebas originales que dio.

Apolonio

Junto con Euclides y Arquímedes, Apolonio es el tercer miembro del trío de grandes mentes geométricas de la Antigua Grecia. “No es exagerado decir que casi todas las geometrías geométricas subsiguientes significativas, hasta la actualidad inclusive, encuentran su origen en alguna obra de estos tres grandes eruditos” (Eves, 1963, 25). Solo se conoce una pequeña cantidad de información sobre la vida de Apolonio. Nació en la ciudad de Perge, en Panfilia, que se encuentra en el sur de Asia Menor, ahora Turquía. Eves y Heath acuerdan nuevamente que la fecha de su nacimiento es aproximadamente 262 a.C., es decir, aproximadamente 25 años después del nacimiento de Arquímedes. De joven viajó a Alejandría para estudiar con los sucesores de Euclides. Floreció durante el reinado de Ptolomeo Euergetes ("El Benefactor", 247-222 a. C.). Continuó siendo un erudito reconocido durante el reinado de Ptolomeo Philopator (222-205 a. C.). (Heath, 1921, 126). También se sabe que visitó Pérgamo, donde conoció a Eudemus, a quien dedicó los dos primeros libros de sus Secciones cónicas (Heath, 1921, 126). Los libros tercero al séptimo (y posiblemente el octavo, que está perdido) fueron dedicados al rey Atalo I (241-197 a. C.), un hecho que ha ayudado a los historiadores a estimar los años de su vida.

Cuatro de los ocho libros de Apolonio nos han llegado en griego. El octavo libro está completamente perdido; ni siquiera tenemos conocimiento de su contenido. Los libros V-VII nos han llegado en una traducción árabe, cuya fecha es discutible. Eves y Heath la consideran una traducción del siglo IX (Eves, 1990, p. 171). Cajori, por otro lado, escribe sobre una traducción de 1250, sin ninguna mención de la del siglo IX (Cajori, 1924, 38). Dos hermanos de la familia Muh, Ahmad y al-Hasan, primero contemplaron traducir las secciones cónicas al árabe durante el siglo IX. Casi pierden el interés por el mal estado de sus manuscritos. Ahmad recibió una copia de la edición de Eutocius de los Libros I-IV y los hizo traducir Abi Hilal al-Himsi (fallecido en 883/4). Luego le dio un manuscrito diferente de los libros V-VII a Thabit ibn Qurra (vivió entre 826 y 901) para que lo tradujera. Confirmando la mención de Cajori de la traducción de 1250, Heath informa que en 1248, Nasir ad-Din hizo otra traducción (Heath, 1921, p. 127).

Apolonio abre cada uno de sus libros supervivientes con un prefacio. El prefacio del Libro I, que sirve como prefacio general para toda la serie, y del Libro V se han incluido en el Apéndice A. Del prefacio general aprendemos que los primeros cuatro libros de Secciones cónicas completaban y formalizaban el trabajo anterior conocido por Apolonio en ese momento. Según Heath, Apolonio nunca afirma que el material cubierto en los primeros cuatro libros sea original, a excepción de ciertos teoremas del Libro III y las investigaciones del Libro IV. Lo que sí sostiene, sin embargo, es que su tratado es más completo y riguroso que los trabajos anteriores sobre el tema, lo que concuerda con los comentarios de Pappus (Heath, 1961, p. Lxxvii). A diferencia de la mayoría de los primeros cuatro libros, los libros del cinco al siete cubrían nuevos conceptos que iban más allá de lo "esencial". Heath afirma: La verdadera distinción entre los primeros cuatro libros y el quinto consiste más bien en el hecho de que los primeros contienen una exposición científica y conectada de la teoría general de las secciones cónicas como base indispensable para futuras extensiones del tema en ciertas direcciones especiales. mientras que el quinto libro es un ejemplo de tal especialización, lo mismo ocurre con los libros sexto y séptimo (Heath, 1961, p. lxxvi).

Antes de examinar las proposiciones individuales de las secciones cónicas, podría ser apropiado mencionar el origen de los nombres de las secciones cónicas como las conocemos hoy. Según Eves, los términos "elipse", "parábola" e "hipérbola" se adoptaron de la lengua vernácula pitagórica temprana en referencia a la "aplicación de áreas" (la forma de "álgebra geométrica" ​​registrada en Elementos de Euclides, Libro II. Al aplicar un rectángulo a un segmento de línea [alineando un borde del rectángulo con el segmento con una esquina del rectángulo que coincide con un punto final], la "otra" esquina del rectángulo se quedó corta, se cumplió exactamente o superó el final del segmento. Estos tres casos fueron respectivamente llamados "puntos suspensivos", "parábole" o "hipérbole". Eves muestra cómo estos términos fueron aplicados con un espíritu similar a las secciones cónicas por Apolonio de la siguiente manera:

    Sea AB el eje principal de una cónica. Sea P cualquier punto de la cónica. Sea Q el pie de la perpendicular a AB. Marque una distancia AR, perpendicular a AB por una distancia que ahora se conoce como latus recto o parámetro de la curva. Aplicar al segmento AR, un rectángulo que tiene por un lado AQ y un área igual a (PQ) & sup2. Si el rectángulo excede el segmento AR, entonces la cónica es una hipérbola. Si el rectángulo coincide con el segmento AR, entonces la cónica es una parábola. Si el rectángulo no llega al segmento AR, entonces la cónica es una elipse. (Eves, 1963, págs.30-1)

Este argumento por sí solo no parece ser una prueba, ni siquiera una definición. Tal como está escrito, ciertamente no aparece en las Secciones Cónicas de Apolonio, aunque más adelante, cuando se discutan sus proposiciones, será evidente una similitud con estas. Las declaraciones de Eves, sin embargo, parecen comprobarse cuando uno sigue los pasos. Las tres primeras afirmaciones son claras y comunes a los tres casos. No expresado explícitamente, sea F un foco de la sección cónica dada y K un punto final del latus recto. A continuación, se muestran ejemplos (no griegos) de cada uno de los tres casos:

Antes de entrar en el método de Apolonio para probar estas relaciones, sólo sería apropiado comenzar, como lo hizo él, por definir los términos relevantes.

Si una línea recta de longitud indefinida, y que pasa siempre por un punto fijo, se hace girar alrededor de la circunferencia de un círculo que no está en el mismo plano que el punto, de modo que pase sucesivamente por todos los puntos de esa circunferencia, el la línea recta en movimiento trazará la superficie de un cono doble, o dos conos similares que se encuentran en direcciones opuestas y se encuentran en el punto fijo, que es el vértice de cada cono.

El círculo alrededor del cual se mueve la línea recta se denomina base del cono que se encuentra entre dicho círculo y el punto fijo, y el eje se define como la línea recta trazada desde el punto fijo o el vértice hasta el centro del círculo que forma el círculo. base.

El cono así descrito es un cono escaleno u oblicuo excepto en el caso particular donde el eje es perpendicular a la base. En este último caso, el cono es un cono recto.

Si un cono es cortado por un plano que pasa a través del ápice, la sección resultante es un triángulo, dos lados son líneas rectas que se encuentran en la superficie del cono y el tercer lado es la línea recta que es la intersección del plano de corte y el plano de la base.

Sea un cono cuyo vértice sea A y cuya base sea el círculo BC, y sea O el centro del círculo, de modo que AO sea el eje del cono. Suponga ahora que el cono es cortado por cualquier plano paralelo al plano de la base BC y DE, y deje que el eje AO se encuentre con el plano DE en o. Sea p cualquier punto en la intersección del plano DE y la superficie del cono. Unir Ap y producirlo para encontrar la circunferencia del círculo BC en P. Unir OP, op.

Entonces, dado que el plano que pasa por las rectas AO, AP corta los dos planos paralelos BC, DE en las rectas OP, op respectivamente, OP, op son paralelas.

Y, siendo BPC un círculo, OP permanece constante para todas las posiciones de p en la curva DpE, y la relación Ao: Ao también es constante.

Por tanto, op es constante para todos los puntos de la sección de la superficie por el plano DE. En otras palabras, esa sección es un círculo.

Por tanto, todas las secciones del cono que son paralelas a la base circular son círculos (Heath, 1961, págs. 1-2).

Secciones cónicas continúa definiendo un diámetro como una línea recta que biseca cada una de una serie de cuerdas paralelas de una sección de un cono. En cada uno de los ejemplos siguientes, PP 'es un diámetro:

En las figuras anteriores, si QQ 'se divide en dos por el diámetro PP' en V, entonces PV se denomina ordenada o línea recta dibujada en ordenadas. La longitud PV separada del diámetro por cualquier QV ordenada se denomina abscisa de QV (Heath, 1961, págs. 7-8).

Pasamos ahora a las definiciones de Apolonio de las secciones cónicas mientras intentamos conectarlas con la definición que Eves dio anteriormente. El caso de la parábola se dará como ejemplo de los desarrollos de Apolonio:

Primero, deje que el diámetro PM de la sección sea paralelo a uno de los lados del triángulo axial como AC, y sea QV una ordenada cualquiera del diámetro PM. Entonces, si se toma una recta PL (supuestamente trazada perpendicular a PM en el plano de la sección) de tal longitud que PL: PA = BC & sup2: BA.AC, se demostrará que QV & sup2 = PL.PV

Sea HK ​​dibujado a través de V paralelo a BC. Entonces, dado que QV también es paralelo a DE, se deduce que el plano que pasa por H, Q, K es paralelo a la base del cono y por lo tanto produce una sección circular cuyo diámetro es HK. También QV está en ángulo recto con HK.

Ahora, por triángulos y paralelos similares,

HV: PV = BC: AC y VK: PA = BC: BA.

Por lo tanto, QV & sup2: PV.PA = PL: PA = PL.PV: PV.PA

De ello se deduce que el cuadrado en la ordenada ay del diámetro fijo PM es igual a un rectángulo aplicado a la línea recta fija PL trazada en ángulo recto con PM con una altitud igual a la correspondiente abscisa PV. De ahí que la sección se llame Parábola.

La línea recta fija PL se llama latus recto, o el parámetro de las ordenadas.

Este parámetro, correspondiente al diámetro PM, se indicará con el símbolo p a continuación. Por lo tanto,

Esta prueba difiere de la anterior, ya que en el ejercicio anterior se asumió que el enfoque era conocido. Apolonio elige PL de tal manera que represente el latus recto o el ancho focal de la curva. Debido al desarrollo anterior, cualquier plano paralelo a la base y cortando el cono por completo es un círculo. Mediante el uso de los conjuntos de líneas paralelas QV y DE, HK y BC, y mediante los triángulos similares HKA y BCA, se sigue de forma bastante directa como afirma Apolonio. Al igual que en la demostración anterior (Eves), el cuadrado de la ordenada (QV & sup2) es igual a la longitud del latus recto (PL) multiplicada por la abscisa de QV (PV).

Las definiciones de Apolonio de la hipérbola y la elipse siguen una línea similar. Para la hipérbola, el área del rectángulo (igual al cuadrado de la ordenada) se superpone al recto latus fijo. Para la elipse, el área del rectángulo no llega al recto latus fijo. Reiterando lo anterior, Heath sugiere que estas definiciones indican que los nombres provienen de los términos pitagóricos relacionados con la aplicación de áreas a segmentos.

El tema final de las secciones cónicas de Apolonio a considerar es su tratamiento de las tangentes. Desarrolla este tema tanto en el Libro I como en el Libro V. El Libro V introduce la idea de líneas "máximas" y "mínimas" para referirse a tangentes y normales, respectivamente. Este libro, considerado por Eves como "el más notable y original" de los siete que tenemos hoy, rápidamente se vuelve muy difícil de leer y seguir. Las proposiciones y relaciones que demuestra, que hoy en día se muestran más fácilmente mediante el cálculo diferencial, se exploran rigurosamente en la forma geométrica clásica griega (Heath, 1961, pp. Lxxv-lxxvi). Los teoremas preliminares, sin embargo, no son terriblemente difíciles de seguir. Primero veremos dos proposiciones del primer libro acerca de las tangentes (una será enunciada y discutida, la otra probada formalmente), y luego veremos un teorema del Libro V.

La Proposición 11 establece: Si se traza una línea recta a través del extremo del diámetro de cualquier cónica paralela a las ordenadas de ese diámetro, la línea recta tocará la cónica, y ninguna otra línea recta puede caer entre ella y la cónica (Heath, 1961, pág.22). Es decir, no cabe ninguna línea recta entre una línea tangente y la curva a la que es tangente. Esto parece una afirmación razonable, relacionada con la definición de línea tangente utilizada más adelante en el desarrollo del cálculo (aunque, entre otras cosas, tiene un alcance demasiado "global").

Apolonio prueba esto en dos casos, uno para una parábola y otro para la elipse, hipérbola y círculo [interesante que incluiría el círculo].

Proposición 12: Si se toma un punto T en el diámetro de una parábola fuera de la curva y que TP = PV, donde V es el pie de la ordenada desde Q al diámetro PV, la línea TQ tocará la parábola.

Tenemos que demostrar que la línea recta TQ o TQ producida no cae dentro de la curva en ninguno de los lados de Q.

Porque, si es posible, deje que K, un punto en TQ o TQ producido, caiga dentro de la curva, ya través de K dibuje Q'KV 'paralelo a una ordenada y que coincida con el diámetro en V' y la curva en Q '.

Luego Q'V '& sup2: QV & sup2> KV' & sup2: QV & sup2, por hipótesis,> TV '& sup2: TV & sup2

Por lo tanto, 4TP.PV ': 4TP.PV> TV' & sup2: TV & sup2

Pero, dado que por hipótesis TV 'no se biseca en P,

lo cual es absurdo. Por lo tanto, TQ no cae en ningún punto dentro de la curva y, por lo tanto, es una tangente.

La figura de esta prueba por contradicción se puede volver a dibujar para mostrar lo que se supone, que existe un punto K en TQ tal que K se encuentra dentro de la parábola. Luego construimos KQ'V 'paralelo a la ordenada QV.

Luego, usando nuestra suposición de que Q'V '> KV', el TP = PV dado y los triángulos similares TVP y TV'Q ', llegamos a la contradicción.

Ahora avanzamos al Libro V para tener una idea de la idea de mínimo de Apolonio con un caso simple del concepto:

Proposición 82 En una parábola, si E es un punto en el eje tal que AE es igual a la mitad del latus recto, entonces la línea recta mínima de E a la curva es AE y, si P es cualquier otro punto de la curva, PE aumenta a medida que P se aleja de A en cualquier lado. Además, para cualquier punto:

Sea AL el parámetro o latus recto. Entonces, PN & sup2 = AL.AN = 2AE.AN

Sumando EN & sup2, tenemos, EN & sup2 = 2AE.AN + EN & sup2 = 2AE.AN + (AE - AN) & sup2 = AE & sup2 + AN

Por lo tanto, PE & sup2> AE & sup2 y aumentan con AN, es decir, a medida que P se aleja cada vez más de A. También el valor mínimo de PE es AE, o AE es la línea recta más corta desde E a la curva.

[En esta proposición, así como en muchas otras en el Libro V, Apolonio considera tres casos, donde N está entre A y E, donde N coincide con E y PE (perpendicular al eje), y donde AN es mayor que AE-vamos a solo considere este caso por brevedad]

La prueba comienza indicando la relación general entre ordenadas, abscisas y latus recto de una parábola. Este es un caso especial de la parábola en la que E se elige en el diámetro de manera que AE es la mitad del latus recto, lo que se refleja en la reescritura de la relación original. Como PN es perpendicular a PE, EN & sup2 se suma a ambos lados de la ecuación, y debido al Teorema de Pitágoras, el lado izquierdo de la ecuación se reduce a PE & sup2. El resto de la prueba sigue fácilmente.

Conclusión

Este artículo ha intentado proporcionar una introducción sistemática al trabajo de los geómetras griegos involucrados en el desarrollo de la teoría de la sección cónica. Comenzó con el trabajo de Menaechmus, quien utilizó por primera vez cónicas para resolver la duplicación del cubo. Se desconoce cuántas propiedades de las cónicas conocía, aunque generalmente se acepta que sabía que provenían del corte de un cono. Después de Menaecmo, Aristeo y Euclides formalizaron y expandieron las cónicas (Aristeo era más original). Luego vino el gran Arquímedes, quien usó la teoría elemental de las secciones cónicas para desarrollar conceptos importantes sobre las parábolas, y la extendió mucho más allá del alcance de este artículo. La culminación del tema llegó de la mano de Apolonio, quien, en ocho volúmenes, desarrolló rigurosamente todo lo que se conocía sobre las secciones cónicas antes que él, y añadió multitud de proposiciones que le eran originales (creemos), tanto de hecho que Eves señala, "El tratado es considerablemente más completo que el curso universitario actual en la materia".

Después de la era de estos grandes matemáticos, hubo una pausa en el crecimiento de las secciones cónicas hasta Pappus. Amplió gran parte de lo que se sabía y también demostró ser una fuente valiosa para los historiadores de las matemáticas modernas que intentan aprender sobre los métodos griegos. Con el fallecimiento de Pappus y quizás Proclo, las cónicas desaparecieron durante más de 1000 años hasta que renacieron en los siglos XV y XVI. Aunque el trabajo de científicos y matemáticos, como Kepler, que era ambos, las cónicas evolucionaron de un nuevo ejercicio intelectual en la Antigua Grecia, a una poderosa herramienta de modelado para explicar las leyes físicas del universo.

Prefacios seleccionados de las secciones cónicas (traducido por Halley, impreso en Heath)

Apolonio a Eudemo, saludo.

Si usted goza de buena salud y las circunstancias son, en otros aspectos, como desea, es bueno que yo también esté bastante bien.Cuando estuve con usted en Pérgamo, observé que estaba ansioso por familiarizarse con mi trabajo en cónicas, por lo tanto, le envío el primer libro que he corregido, y los libros restantes les enviaré cuando los haya terminado a mi satisfacción. Me atrevería a decir que no ha olvidado que le dije que emprendí la investigación de este tema a pedido del geómetra Naucrates en el momento en que vino a Alejandría y se quedó conmigo, y que, después de resumirlo en ocho libros, le comuniqué Se los enseñaron enseguida, con demasiado mal humor, sin una revisión a fondo (ya que estaba a punto de zarpar), pero anotando todo lo que se me ocurrió, con la intención de volver a ellos más tarde. Por lo que ahora aprovecho la oportunidad de publicar cada parte de vez en cuando, ya que se va corrigiendo gradualmente. Pero, dado que ha sucedido que otras personas que también han estado conmigo han recibido el primer y segundo libro antes de que fueran corregidos, no se sorprenda si los encuentra en una forma diferente.

Ahora, de los ocho libros, los primeros cuatro forman una introducción elemental, el primero contiene los modos de producir las tres secciones y las ramas opuestas [de la hipérbola-Heath] y sus propiedades fundamentales se desarrollaron de manera más completa y generalizada que en los escritos de otros autores. el segundo trata las propiedades de los diámetros y ejes de las secciones, así como de las asíntotas y otras cosas de importancia general y necesarias para determinar los límites de posibilidad, y lo que entiendo por diámetros y ejes aprenderás de este libro. El tercer libro contiene muchos teoremas notables útiles para la síntesis de loci sólidos y determinaciones de límites, los más y más bonitos de estos teoremas son nuevos y, cuando los descubrí, observé que Euclides no había elaborado la síntesis del locus con respeto. a tres y cuatro líneas, pero sólo una parte fortuita y eso no con éxito: porque no era posible que la síntesis pudiera haberse completado sin mis descubrimientos adicionales. El cuarto libro muestra de cuántas formas se encuentran las secciones de los conos y la circunferencia de un círculo contiene otros asuntos además, ninguno de los cuales ha sido discutido por escritores anteriores, con respecto al número de puntos en los que una sección de cono o la circunferencia de un círculo se encuentra [las ramas opuestas de una hipérbola-Heath].

El resto [de los libros-Heath] son ​​más a modo de suplusage ['más avanzado' pero literalmente implica extensiones del tema más allá de lo esencial-Heath en forma de nota al pie]: uno de ellos trata de manera algo completa con mínimos y máximos, uno con secciones de conos iguales y similares, uno con teoremas que involucran la determinación de límites y el último con problemas cónicos determinados.

Cuando se publiquen todos los libros, por supuesto, aquellos que los lean estarán abiertos a juzgarlos como les plazca individualmente. Despedida.

Apolonio a Atalo, saludo.

En este quinto libro he establecido proposiciones relativas a las líneas rectas máximas y mínimas. Debes saber que nuestros predecesores y contemporáneos solo han tocado superficialmente la investigación de las líneas más cortas y solo han probado qué líneas rectas tocan las secciones y, a la inversa, qué propiedades tienen en virtud de las cuales son tangentes. Por mi parte, he probado estas propiedades en el primer libro (sin hacer uso, sin embargo, en las pruebas, de la doctrina de las líneas más cortas), ya que deseaba situarlas en estrecha conexión con la parte del tema en que Me traté de la producción de las tres secciones cónicas, para mostrar al mismo tiempo que en cada una de las tres secciones aparecen innumerables propiedades y resultados necesarios, como lo hacen con referencia al diámetro original (transversal). Las proposiciones en las que discuto las líneas más cortas las he separado en clases, y he tratado cada caso individual mediante una cuidadosa demostración. También he conectado la investigación de las mismas con la investigación de las líneas más grandes antes mencionadas, porque consideré que aquellos que cultivan esta la ciencia los necesitaba para conocer el análisis y la determinación de los problemas, así como para su síntesis, independientemente de que fueran objeto de alguno de los que parecen dignos de estudio por sí mismos. Despedida.


Cómo los griegos cambiaron la idea del más allá

Sus cultos secretos ayudan a moldear la forma en que pensamos sobre lo que sucede después de la muerte.

El mundo de la antigua Grecia estaba lleno de dioses, liderados por los imponentes olímpicos: Zeus, Hera, Apolo, Poseidón, Atenea y otros gigantes de la mitología. Junto a la adoración de estos habitantes divinos del Olimpo, había cientos de cultos centrados en deidades y héroes locales.

La gente rezaba a estos dioses por las mismas razones por las que rezamos hoy: por la salud y la seguridad, por la prosperidad, por una buena cosecha, por la seguridad en el mar. En su mayoría oraban como comunidades y, a través de ofrendas y sacrificios, buscaban complacer a las deidades inescrutables que creían que controlaban sus vidas.

Pero, ¿qué pasa después de la muerte? En esto, los antiguos miraban a Hades, dios del inframundo, hermano de Zeus y Poseidón. Pero Hades no lo tranquilizó. Envuelto en una brumosa oscuridad, cortado por el temible río Estigia, el reino de Hades ("lo invisible") era, nos dice el poeta Homero, un lugar de "horror en descomposición" donde la gente común, e incluso los héroes, iban después de morir.

El interés compasivo por la condición humana llevó finalmente a los griegos a adoptar nuevas formas de religión y nuevos cultos. Ya no se ve como un destino sin alegría, la otra vida se convirtió más en una búsqueda personal. Los cultos misteriosos, envueltos en secreto, prometían orientación para lo que vendría después de la muerte. Los ritos de misterio fueron intensamente emocionales y se escenificaron como un teatro elaborado. Los de los grandes dioses en la isla griega de Samotracia tuvieron lugar por la noche, con antorchas parpadeantes que señalaron el camino para los iniciados. Guardados bajo pena de muerte, los rituales siguen siendo misteriosos hasta el día de hoy.

Para el siglo IV a.C., habían surgido cultos que pretendían ofrecer purificación limpiando a los iniciados de la mancha de la humanidad. Los cimientos de las nuevas religiones se estaban asentando. Y cuando el cristianismo arrasó el mundo antiguo, llevó consigo, junto con la guía de una sola deidad, restos de las antiguas creencias: el lavado de la corrupción humana a través de ritos místicos, los diferentes destinos que aguardan a los iniciados y no iniciados, y la reverencia por textos sagrados.


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