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¿Los problemas que Fibonacci resolvió en su obra “Flos” se le plantearon específicamente?

¿Los problemas que Fibonacci resolvió en su obra “Flos” se le plantearon específicamente?

Según Wikipedia, Fibonacci escribió "Flos", una obra que contenía soluciones a los problemas planteados por Johannes de Palermo. ¿Johannes supuso un desafío para todos los matemáticos europeos de la época, o sus problemas estaban dirigidos a Fibonacci?

¿Alguien sabe cuáles son algunos ejemplos concretos de los problemas planteados?


Johannes de Palermo fue un erudito en la corte de Federico II. Frederick estaba al tanto del trabajo de Fibonacci, y tal vez incluso un admirador. En 1225, cuando la corte de Federico se reunió en Pisa, Fibonacci fue invitado a demostrar sus obras. No puedo encontrar una fuente de cuándo exactamente Johannes de Palermo planteó sus problemas, pero los dos hombres ciertamente se conocieron en Pisa y Johannes planteó sus problemas directamente en Fibonacci:

Se organizó una reunión entre Fibonacci y Federico en el palacio del Emperador en Pisa, Federico trayendo consigo un imponente séquito de personas y animales. Frederick, que tenía unos 30 años, es descrito como "atlético y de mediana estatura, con cabello rubio rojizo y penetrantes ojos azules que se dice que hicieron temblar a sus cortesanos".

Un erudito, el maestro John de Palermo, propuso preguntas matemáticas para que las resolviera Fibonacci. Según algunos escritores, se llevó a cabo un torneo matemático entre Fibonacci y otros matemáticos, pero este no parece haber sido el caso. Tres de estos problemas se dan más adelante cuando me ocupo de los escritos matemáticos de Fibonacci. En el momento de su encuentro con Frederick en la década de 1220, Fibonacci probablemente estaba en el apogeo de su destreza.

Fuente: 800 años de edad, A. F. Horadam, Departamento de Matemáticas, Universidad de Nueva Inglaterra

Como ejemplo del problema:

En Flos, Fibonacci da una aproximación precisa a una raíz de 10x + 2x2 + x3 = 20, uno de los problemas que Johannes de Palermo le desafió a resolver. Este problema no lo inventó Johannes de Palermo, sino que lo tomó del libro de álgebra de Omar Khayyam donde se resuelve mediante la intersección de un círculo y una hipérbola. Fibonacci prueba que la raíz de la ecuación no es un número entero ni una fracción, ni la raíz cuadrada de una fracción. Luego continúa:

Y como no era posible resolver esta ecuación de ninguna otra de las formas anteriores, trabajé para reducir la solución a una aproximación.

Sin explicar sus métodos, Fibonacci da la solución aproximada en notación sexagesimal como 1.22.7.42.33.4.40 (esto está escrito en base 60, por lo que es 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 +…). Esto convierte al decimal 1.3688081075 que es correcto a nueve lugares decimales, un logro notable.

Fuente: Leonardo Pisano Fibonacci (breve biografía), Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia

Hay otro ejemplo de Flos en la fuente de mi primera cita, pero desafortunadamente sin la solución de Fibonacci. ¿Quizás le gustaría intentar resolverlo por su cuenta? ;)

Otras lecturas:

  • El 800 aniversario del libro que trajo números al oeste, Keith Devlin (Director Ejecutivo del Centro para el Estudio del Lenguaje y la Información de la Universidad de Stanford)
  • Fibonacci y números cuadrados, MathDL, The Mathematical Association of America

ALAN TURING: CRECER EL CÓDIGO 'ENIGMA'

los El matemático británico Alan Turing es quizás más famoso por su trabajo en tiempos de guerra en el Centro británico de descifrado de códigos en Bletchley Park donde su trabajo condujo a la ruptura del código enigma alemán (según algunos, acortando la Segunda Guerra Mundial de un plumazo y potencialmente salvando miles de vidas). Pero también fue responsable de hacer que el ya devastador teorema de incompletitud de Gödel sea aún más sombrío y desalentador, y es principalmente en esto, y en el desarrollo de la informática que dio lugar a su trabajo, que se basa el legado matemático de Turing.

A pesar de asistir a una costosa escuela privada que enfatizaba fuertemente los clásicos en lugar de las ciencias, Turing mostró los primeros signos del genio que se haría más prominente más adelante, resolviendo problemas avanzados cuando era adolescente sin siquiera haber estudiado cálculo elemental y sumergiéndose en el complejo. matemáticas de la obra de Albert Einstein. Se convirtió en un ateo confirmado después de la muerte de su amigo cercano y compañero de estudios de Cambridge Christopher Morcom, y durante toda su vida fue un corredor de larga distancia consumado y comprometido.

En los años posteriores a la publicación del teorema de incompletitud de Gödel, Turing quería desesperadamente aclarar y simplificar el teorema bastante abstracto y abstruso de Gödel, y hacerlo más concreto. Pero su solución, que se publicó en 1936 y que, según afirmó más tarde, le había llegado en una visión, involucró efectivamente la invención de algo que ha llegado a dar forma a todo el mundo moderno, la computadora.


Contenido

Juventud y estudios Editar

Georg Cantor nació en 1845 en la colonia mercantil occidental de San Petersburgo, Rusia, y se crió en la ciudad hasta los once años. Cantor, el mayor de seis hermanos, fue considerado un destacado violinista. Su abuelo Franz Böhm (1788–1846) (hermano del violinista Joseph Böhm) fue un conocido músico y solista de una orquesta imperial rusa. [15] El padre de Cantor había sido miembro de la bolsa de valores de San Petersburgo cuando se enfermó, la familia se mudó a Alemania en 1856, primero a Wiesbaden, luego a Frankfurt, buscando inviernos más suaves que los de San Petersburgo. En 1860, Cantor se graduó con distinción en la Realschule de Darmstadt y se notaron sus excepcionales habilidades en matemáticas, en particular trigonometría. En agosto de 1862, se graduó en la "Höhere Gewerbeschule Darmstadt", ahora Technische Universität Darmstadt. [16] [17] En 1862, Cantor ingresó en el Politécnico Federal Suizo. Después de recibir una herencia sustancial tras la muerte de su padre en junio de 1863, [18] Cantor trasladó sus estudios a la Universidad de Berlín, asistiendo a conferencias de Leopold Kronecker, Karl Weierstrass y Ernst Kummer. Pasó el verano de 1866 en la Universidad de Göttingen, entonces y más tarde un centro de investigación matemática. Cantor era un buen estudiante y recibió su doctorado en 1867. [18] [19]

Docente e investigador Editar

Cantor presentó su disertación sobre teoría de números en la Universidad de Berlín en 1867. Después de enseñar brevemente en una escuela de niñas de Berlín, Cantor tomó un puesto en la Universidad de Halle, donde pasó toda su carrera. Se le otorgó la habilitación necesaria para su tesis, también sobre teoría de números, que presentó en 1869 tras su nombramiento en la Universidad de Halle. [19] [20]

En 1874, Cantor se casó con Vally Guttmann. Tuvieron seis hijos, el último (Rudolph) nació en 1886. Cantor pudo mantener una familia a pesar de la modesta paga académica, gracias a la herencia de su padre. Durante su luna de miel en las montañas de Harz, Cantor pasó mucho tiempo en discusiones matemáticas con Richard Dedekind, a quien había conocido dos años antes mientras estaba de vacaciones en Suiza.

Cantor fue ascendido a profesor extraordinario en 1872 y profesor titular en 1879. [19] [18] Alcanzar este último rango a la edad de 34 años fue un logro notable, pero Cantor deseaba una cátedra en una universidad más prestigiosa, en particular en Berlín, en ese momento la principal universidad alemana. Sin embargo, su trabajo encontró demasiada oposición para que eso fuera posible. [21] Kronecker, quien dirigió matemáticas en Berlín hasta su muerte en 1891, se sentía cada vez más incómodo con la perspectiva de tener a Cantor como colega, [22] percibiéndolo como un "corruptor de la juventud" por enseñar sus ideas a una generación más joven de matemáticos. [23] Peor aún, Kronecker, una figura bien establecida dentro de la comunidad matemática y ex profesor de Cantor, no estaba de acuerdo fundamentalmente con la idea central del trabajo de Cantor desde que retrasó intencionalmente la publicación de la primera gran publicación de Cantor en 1874. [19] Kronecker, ahora visto como uno de los fundadores del punto de vista constructivo en matemáticas, le disgustaba gran parte de la teoría de conjuntos de Cantor porque afirmaba la existencia de conjuntos que satisfacen ciertas propiedades, sin dar ejemplos específicos de conjuntos cuyos miembros sí satisfacían esas propiedades. Siempre que Cantor solicitaba un puesto en Berlín, era rechazado, y generalmente involucraba a Kronecker, [19] por lo que Cantor llegó a creer que la postura de Kronecker le haría imposible dejar Halle.

En 1881, el colega de Cantor en Halle, Eduard Heine, murió, creando una silla vacante. Halle aceptó la sugerencia de Cantor de que se la ofreciera a Dedekind, Heinrich M. Weber y Franz Mertens, en ese orden, pero cada uno rechazó la silla después de ofrecérsela. Friedrich Wangerin finalmente fue nombrado, pero nunca estuvo cerca de Cantor.

En 1882, la correspondencia matemática entre Cantor y Dedekind llegó a su fin, aparentemente como resultado de la declinación de la cátedra de Dedekind en Halle. [24] Cantor también comenzó otra correspondencia importante, con Gösta Mittag-Leffler en Suecia, y pronto comenzó a publicar en la revista de Mittag-Leffler. Acta Mathematica. Pero en 1885, Mittag-Leffler estaba preocupado por la naturaleza filosófica y la nueva terminología en un artículo que Cantor había presentado. Acta. [25] Le pidió a Cantor que retirara el documento de Acta mientras estaba en prueba, escribiendo que era ". Cien años demasiado pronto". Cantor obedeció, pero luego redujo su relación y correspondencia con Mittag-Leffler, escribiendo a un tercero: "Si Mittag-Leffler se hubiera salido con la suya, ¡tendría que esperar hasta el año 1984, que me pareció una exigencia demasiado grande! Pero, por supuesto, no quiero volver a saber nada más sobre Acta Mathematica." [26]

Cantor sufrió su primer ataque conocido de depresión en mayo de 1884. [18] [27] Las críticas a su trabajo pesaban en su mente: cada una de las cincuenta y dos cartas que escribió a Mittag-Leffler en 1884 mencionaba a Kronecker. Un pasaje de una de estas cartas revela el daño a la confianza en sí mismo de Cantor:

. No sé cuándo regresaré a la continuación de mi trabajo científico. Por el momento no puedo hacer absolutamente nada con él, y me limito al deber más necesario de mis conferencias, cuánto más feliz sería ser científicamente activo, si tan solo tuviera la frescura mental necesaria. [28]

Esta crisis lo llevó a postularse para dar conferencias sobre filosofía en lugar de matemáticas. También comenzó un estudio intenso de la literatura isabelina pensando que podría haber evidencia de que Francis Bacon escribió las obras de teatro atribuidas a William Shakespeare (ver la pregunta sobre la autoría de Shakespeare), esto finalmente resultó en dos folletos, publicados en 1896 y 1897. [29]

Cantor se recuperó poco después y posteriormente hizo importantes contribuciones adicionales, incluido su argumento y teorema diagonal. Sin embargo, nunca volvió a alcanzar el alto nivel de sus notables trabajos de 1874-1884, incluso después de la muerte de Kronecker el 29 de diciembre de 1891. [19] Finalmente buscó y logró una reconciliación con Kronecker. Sin embargo, persistieron los desacuerdos filosóficos y las dificultades que los dividían.

En 1889, Cantor jugó un papel decisivo en la fundación de la Sociedad Matemática Alemana [19] y presidió su primera reunión en Halle en 1891, donde presentó por primera vez su argumento diagonal, su reputación era lo suficientemente fuerte, a pesar de la oposición de Kronecker a su trabajo, para asegurarse de que fuera elegido como el primer presidente de esta sociedad. Dejando a un lado la animosidad que Kronecker había mostrado hacia él, Cantor lo invitó a dirigirse a la reunión, pero Kronecker no pudo hacerlo porque su esposa estaba muriendo por las heridas sufridas en un accidente de esquí en ese momento. Georg Cantor también jugó un papel decisivo en el establecimiento del primer Congreso Internacional de Matemáticos, que se celebró en Zúrich, Suiza, en 1897. [19]

Años posteriores y muerte Editar

Después de la hospitalización de Cantor en 1884, no hay constancia de que estuviera nuevamente en un sanatorio hasta 1899. [27] Poco después de esa segunda hospitalización, el hijo menor de Cantor, Rudolph, murió repentinamente el 16 de diciembre (Cantor estaba dando una conferencia sobre sus puntos de vista sobre la teoría baconiana y William Shakespeare), y esta tragedia le quitó a Cantor gran parte de su pasión por las matemáticas. [30] Cantor fue hospitalizado nuevamente en 1903. Un año después, se sintió indignado y agitado por un artículo presentado por Julius König en el Tercer Congreso Internacional de Matemáticos. El artículo intentó demostrar que los principios básicos de la teoría de conjuntos transfinitos eran falsos. Dado que el periódico había sido leído frente a sus hijas y colegas, Cantor se percibió a sí mismo como humillado públicamente. [31] Aunque Ernst Zermelo demostró menos de un día después que la prueba de König había fallado, Cantor permaneció conmocionado y cuestionando momentáneamente a Dios. [12] Cantor sufrió de depresión crónica durante el resto de su vida, por lo que fue excusado de enseñar en varias ocasiones y confinado repetidamente en varios sanatorios. Los acontecimientos de 1904 precedieron a una serie de hospitalizaciones a intervalos de dos o tres años. [32] Sin embargo, no abandonó las matemáticas por completo, dando una conferencia sobre las paradojas de la teoría de conjuntos (paradoja de Burali-Forti, paradoja de Cantor y paradoja de Russell) en una reunión de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en 1903 y asistiendo al Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg en 1904.

En 1911, Cantor fue uno de los distinguidos académicos extranjeros invitados a asistir al 500 aniversario de la fundación de la Universidad de St. Andrews en Escocia. Cantor asistió, con la esperanza de conocer a Bertrand Russell, cuyo recién publicado Principia Mathematica repetidamente citó el trabajo de Cantor, pero esto no sucedió. Al año siguiente, St. Andrews le otorgó a Cantor un doctorado honorario, pero la enfermedad le impidió recibir el título en persona.

Cantor se retiró en 1913, viviendo en la pobreza y sufriendo de desnutrición durante la Primera Guerra Mundial. [33] La celebración pública de su 70 cumpleaños fue cancelada debido a la guerra. En junio de 1917, ingresó a un sanatorio por última vez y continuamente le escribía a su esposa pidiéndole que le permitiera regresar a casa. Georg Cantor sufrió un infarto fatal el 6 de enero de 1918 en el sanatorio donde había pasado el último año de su vida. [18]

El trabajo de Cantor entre 1874 y 1884 es el origen de la teoría de conjuntos. [34] Antes de este trabajo, el concepto de conjunto era bastante elemental y se había utilizado implícitamente desde el comienzo de las matemáticas, que se remonta a las ideas de Aristóteles. Nadie se había dado cuenta de que la teoría de conjuntos tenía un contenido no trivial. Antes de Cantor, solo había conjuntos finitos (que son fáciles de entender) y "el infinito" (que se consideraba un tema de discusión filosófica, más que matemática). Al demostrar que hay (infinitamente) muchos tamaños posibles para conjuntos infinitos, Cantor estableció que la teoría de conjuntos no era trivial y necesitaba ser estudiada. La teoría de conjuntos ha llegado a desempeñar el papel de una teoría fundamental en las matemáticas modernas, en el sentido de que interpreta proposiciones sobre objetos matemáticos (por ejemplo, números y funciones) de todas las áreas tradicionales de las matemáticas (como álgebra, análisis y topología). en una sola teoría, y proporciona un conjunto estándar de axiomas para probarlos o refutarlos. Los conceptos básicos de la teoría de conjuntos se utilizan ahora en todas las matemáticas. [35]

En uno de sus primeros trabajos, [36] Cantor demostró que el conjunto de números reales es "más numeroso" que el conjunto de números naturales, esto mostró, por primera vez, que existen infinitos conjuntos de diferentes tamaños. También fue el primero en apreciar la importancia de las correspondencias uno a uno (en lo sucesivo, "correspondencia 1 a 1") en la teoría de conjuntos. Usó este concepto para definir conjuntos finitos e infinitos, subdividiendo estos últimos en conjuntos numerables (o infinitos numerables) y conjuntos no numerables (conjuntos infinitos incontables). [37]

Cantor desarrolló conceptos importantes en topología y su relación con la cardinalidad. Por ejemplo, mostró que el conjunto de Cantor, descubierto por Henry John Stephen Smith en 1875, [38] no es denso en ninguna parte, pero tiene la misma cardinalidad que el conjunto de todos los números reales, mientras que los racionales son densos en todas partes, pero contables. También mostró que todos los órdenes lineales densos contables sin puntos finales son orden-isomorfos a los números racionales.

Cantor introdujo construcciones fundamentales en la teoría de conjuntos, como el conjunto de potencias de un conjunto A, que es el conjunto de todos los posibles subconjuntos de A. Más tarde demostró que el tamaño del conjunto de poder de A es estrictamente más grande que el tamaño de A, incluso cuando A es un conjunto infinito, este resultado pronto se conoció como teorema de Cantor. Cantor desarrolló toda una teoría y aritmética de conjuntos infinitos, llamados cardinales y ordinales, que extendieron la aritmética de los números naturales. Su notación para los números cardinales era la letra hebrea ℵ < displaystyle aleph> (aleph) con un subíndice de número natural para los ordinales; empleó la letra griega ω (omega). Esta notación todavía se usa hoy.

los Hipótesis del continuo, presentado por Cantor, fue presentado por David Hilbert como el primero de sus veintitrés problemas abiertos en su discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París. El trabajo de Cantor también atrajo una atención favorable más allá del célebre encomio de Hilbert. [14] El filósofo estadounidense Charles Sanders Peirce elogió la teoría de conjuntos de Cantor y, tras las conferencias públicas pronunciadas por Cantor en el primer Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en Zúrich en 1897, Adolf Hurwitz y Jacques Hadamard también expresaron su admiración.En ese Congreso, Cantor renovó su amistad y correspondencia con Dedekind. Desde 1905, Cantor mantuvo correspondencia con su admirador y traductor británico Philip Jourdain sobre la historia de la teoría de conjuntos y las ideas religiosas de Cantor. Esto se publicó más tarde, al igual que varias de sus obras expositivas.

Teoría de números, series trigonométricas y ordinales Editar

Los primeros diez artículos de Cantor fueron sobre teoría de números, el tema de su tesis. Por sugerencia de Eduard Heine, el profesor de Halle, Cantor se dedicó al análisis. Heine propuso que Cantor resolviera un problema abierto que había eludido a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Rudolf Lipschitz, Bernhard Riemann y al propio Heine: la unicidad de la representación de una función mediante series trigonométricas. Cantor resolvió este problema en 1869. Fue mientras trabajaba en este problema que descubrió los ordinales transfinitos, que se presentaban como índices norte en el norteth conjunto derivado Snorte de un conjunto S de ceros de una serie trigonométrica. Dada una serie trigonométrica f (x) con S como su conjunto de ceros, Cantor había descubierto un procedimiento que produjo otra serie trigonométrica que había S1 como su conjunto de ceros, donde S1 es el conjunto de puntos límite de S. Si Sk + 1 es el conjunto de puntos límite de Sk, entonces podría construir una serie trigonométrica cuyos ceros son Sk + 1. Porque los conjuntos Sk estaban cerrados, contenían sus puntos límite, y la intersección de la secuencia infinita decreciente de conjuntos S, S1, S2, S3. formó un conjunto de límites, que ahora llamaríamos Sω, y luego se dio cuenta de que Sω también tendría que tener un conjunto de puntos límite Sω + 1, etcétera. Tenía ejemplos que duraban para siempre, así que aquí había una secuencia infinita de números infinitos que se producía naturalmente. ω, ω + 1, ω + 2, . [39]

Entre 1870 y 1872, Cantor publicó más artículos sobre series trigonométricas y también un artículo que define los números irracionales como secuencias convergentes de números racionales. Dedekind, de quien Cantor se hizo amigo en 1872, citó este artículo más tarde ese año, en el artículo donde expuso por primera vez su célebre definición de números reales por cortes de Dedekind. Mientras extendía la noción de número por medio de su revolucionario concepto de cardinalidad infinita, Cantor se opuso paradójicamente a las teorías de infinitesimales de sus contemporáneos Otto Stolz y Paul du Bois-Reymond, describiéndolos como "una abominación" y como "un bacilo del cólera de matemáticas". [40] Cantor también publicó una "prueba" errónea de la inconsistencia de los infinitesimales. [41]

Teoría de conjuntos Editar

El comienzo de la teoría de conjuntos como una rama de las matemáticas a menudo está marcado por la publicación del artículo de Cantor de 1874, [34] "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales") . [43] Este artículo fue el primero en proporcionar una prueba rigurosa de que había más de un tipo de infinito. Anteriormente, se suponía implícitamente que todas las colecciones infinitas eran equinuméricas (es decir, "del mismo tamaño" o que tenían el mismo número de elementos). [44] Cantor demostró que la colección de números reales y la colección de enteros positivos no son equinumerables. En otras palabras, los números reales no son contables. Su demostración difiere del argumento diagonal que dio en 1891. [45] El artículo de Cantor también contiene un nuevo método para construir números trascendentales. Los números trascendentales fueron construidos por primera vez por Joseph Liouville en 1844. [46]

Cantor estableció estos resultados utilizando dos construcciones. Su primera construcción muestra cómo escribir los números algebraicos reales [47] como una secuencia. a1, a2, a3,. En otras palabras, los números algebraicos reales son contables. Cantor comienza su segunda construcción con cualquier secuencia de números reales. Usando esta secuencia, construye intervalos anidados cuya intersección contiene un número real que no está en la secuencia. Dado que cada secuencia de números reales se puede usar para construir un número real que no esté en la secuencia, los números reales no se pueden escribir como una secuencia, es decir, los números reales no son contables. Al aplicar su construcción a la secuencia de números algebraicos reales, Cantor produce un número trascendental. Cantor señala que sus construcciones prueban más, es decir, proporcionan una nueva prueba del teorema de Liouville: cada intervalo contiene una cantidad infinita de números trascendentales. [48] ​​El siguiente artículo de Cantor contiene una construcción que prueba que el conjunto de números trascendentales tiene el mismo "poder" (ver más abajo) que el conjunto de números reales. [49]

Entre 1879 y 1884, Cantor publicó una serie de seis artículos en Mathematische Annalen que juntos formaron una introducción a su teoría de conjuntos. Al mismo tiempo, hubo una creciente oposición a las ideas de Cantor, liderada por Leopold Kronecker, quien admitió conceptos matemáticos solo si podían construirse en un número finito de pasos a partir de los números naturales, que él tomó como dados intuitivamente. Para Kronecker, la jerarquía de infinitos de Cantor era inadmisible, ya que aceptar el concepto de infinito real abriría la puerta a paradojas que desafiarían la validez de las matemáticas en su conjunto. [50] Cantor también introdujo el conjunto Cantor durante este período.

El quinto artículo de esta serie, "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre " ("Fundamentos de una teoría general de agregados "), publicado en 1883, [51] fue el más importante de los seis y también se publicó como una monografía separada. Contenía la respuesta de Cantor a sus críticos y mostraba cómo los números transfinitos eran una extensión sistemática de los números naturales. Comienza por definir conjuntos bien ordenados. A continuación, se introducen los números ordinales como tipos de orden de conjuntos bien ordenados. Cantor luego define la suma y multiplicación de los números cardinales y ordinales. En 1885, Cantor amplió su teoría de los tipos de orden de modo que los números ordinales simplemente se convirtieron en un caso especial de tipos de orden.

En 1891, publicó un artículo que contenía su elegante "argumento diagonal" a favor de la existencia de un conjunto incontable. Aplicó la misma idea para probar el teorema de Cantor: la cardinalidad del conjunto de potencias de un conjunto A es estrictamente mayor que la cardinalidad de A. Esto estableció la riqueza de la jerarquía de conjuntos infinitos y de la aritmética cardinal y ordinal que Cantor había definido. Su argumento es fundamental en la solución del problema de Halting y la prueba del primer teorema de incompletitud de Gödel. Cantor escribió sobre la conjetura de Goldbach en 1894.

En 1895 y 1897, Cantor publicó un artículo de dos partes en Mathematische Annalen bajo la dirección de Felix Klein, estos fueron sus últimos trabajos importantes sobre la teoría de conjuntos. [52] El primer artículo comienza definiendo conjunto, subconjunto, etc., de formas que serían ampliamente aceptables ahora. Se revisan la aritmética cardinal y ordinal. Cantor quería que el segundo artículo incluyera una prueba de la hipótesis del continuo, pero tuvo que conformarse con exponer su teoría de conjuntos bien ordenados y números ordinales. Cantor intenta demostrar que si A y B son conjuntos con A equivalente a un subconjunto de B y B equivalente a un subconjunto de A, luego A y B son equivalentes. Ernst Schröder había establecido este teorema un poco antes, pero su demostración, así como la de Cantor, era defectuosa. Felix Bernstein proporcionó una demostración correcta en su tesis doctoral de 1898, de ahí el nombre de teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Correspondencia uno a uno Editar

El artículo de Cantor en Crelle de 1874 fue el primero en invocar la noción de correspondencia uno a uno, aunque no utilizó esa frase. Luego comenzó a buscar una correspondencia 1 a 1 entre los puntos del cuadrado unitario y los puntos de un segmento de línea unitaria. En una carta de 1877 a Richard Dedekind, Cantor demostró un resultado mucho más sólido: para cualquier entero positivo norte, existe una correspondencia 1 a 1 entre los puntos en el segmento de línea unitaria y todos los puntos en un norte-espacio dimensional. Sobre este descubrimiento, Cantor le escribió a Dedekind: "Je le vois, mais je ne le crois pas!"(" ¡Lo veo, pero no lo creo! ") [53] El resultado que encontró tan asombroso tiene implicaciones para la geometría y la noción de dimensión.

En 1878, Cantor envió otro artículo al Crelle's Journal, en el que definió con precisión el concepto de correspondencia 1 a 1 e introdujo la noción de "poder" (un término que tomó de Jakob Steiner) o "equivalencia" de conjuntos: dos conjuntos son equivalentes (tienen el mismo poder) si existe una correspondencia de 1 a 1 entre ellos. Cantor definió conjuntos contables (o conjuntos numerables) como conjuntos que se pueden poner en una correspondencia 1 a 1 con los números naturales, y demostró que los números racionales son numerables. También demostró que norte-espacio euclidiano dimensional R norte tiene el mismo poder que los números reales R, como lo hace un producto numerablemente infinito de copias de R. Si bien hizo uso libre de la contabilidad como concepto, no escribió la palabra "contable" hasta 1883. Cantor también discutió su pensamiento sobre la dimensión, enfatizando que su mapeo entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario no era continuo.

Este artículo disgustó a Kronecker y Cantor quiso retirarlo, sin embargo, Dedekind lo convenció de que no lo hiciera y Karl Weierstrass apoyó su publicación. [54] Sin embargo, Cantor nunca volvió a enviar nada a Crelle.

Hipótesis del continuo Editar

Cantor fue el primero en formular lo que más tarde se conocería como la hipótesis del continuo o CH: no existe un conjunto cuyo poder sea mayor que el de los naturales y menor que el de los reales (o equivalentemente, la cardinalidad de los reales es exactamente aleph-one, en lugar de solo por lo menos aleph-uno). Cantor creía que la hipótesis del continuo era cierta y durante muchos años intentó probarla, en vano. Su incapacidad para probar la hipótesis del continuo le causó una ansiedad considerable. [10]

La dificultad que tuvo Cantor para probar la hipótesis del continuo ha sido subrayada por desarrollos posteriores en el campo de las matemáticas: un resultado de 1940 de Kurt Gödel y uno de 1963 de Paul Cohen juntos implican que la hipótesis del continuo no puede ser probada ni refutada utilizando Zermelo estándar. Teoría de conjuntos de Fraenkel más el axioma de elección (la combinación denominada "ZFC"). [55]

Teorema de infinito absoluto, bien ordenado y paradojas Editar

En 1883, Cantor dividió el infinito en transfinito y absoluto. [56]

Lo transfinito es incrementable en magnitud, mientras que lo absoluto es irresistible. Por ejemplo, un ordinal α es transfinito porque puede aumentarse a α + 1. Por otro lado, los ordinales forman una secuencia absolutamente infinita que no se puede aumentar en magnitud porque no hay ordinales más grandes para agregarle. [57] En 1883, Cantor también introdujo el principio de buen orden "cada conjunto puede estar bien ordenado" y afirmó que es una "ley del pensamiento". [58]

Cantor extendió su trabajo sobre el infinito absoluto usándolo en una demostración. Alrededor de 1895, comenzó a considerar su principio de buen ordenamiento como un teorema e intentó probarlo. En 1899, envió a Dedekind una prueba del teorema de aleph equivalente: la cardinalidad de todo conjunto infinito es un aleph. [59] Primero, definió dos tipos de multiplicidades: multiplicidades consistentes (conjuntos) y multiplicidades inconsistentes (multiplicidades absolutamente infinitas). Luego asumió que los ordinales forman un conjunto, demostró que esto conduce a una contradicción y concluyó que los ordinales forman una multiplicidad inconsistente. Usó esta multiplicidad inconsistente para probar el teorema de aleph. [60] En 1932, Zermelo criticó la construcción en la prueba de Cantor. [61]

Cantor evitó las paradojas al reconocer que hay dos tipos de multiplicidades. En su teoría de conjuntos, cuando se supone que los ordinales forman un conjunto, la contradicción resultante solo implica que los ordinales forman una multiplicidad inconsistente. Por otro lado, Bertrand Russell trató todas las colecciones como conjuntos, lo que conduce a paradojas. En la teoría de conjuntos de Russell, los ordinales forman un conjunto, por lo que la contradicción resultante implica que la teoría es inconsistente. De 1901 a 1903, Russell descubrió tres paradojas que implican que su teoría de conjuntos es inconsistente: la paradoja de Burali-Forti (que se acaba de mencionar), la paradoja de Cantor y la paradoja de Russell. [62] Russell nombró paradojas en honor a Cesare Burali-Forti y Cantor, aunque ninguno de ellos creía haber encontrado paradojas. [63]

En 1908, Zermelo publicó su sistema de axiomas para la teoría de conjuntos. Tenía dos motivaciones para desarrollar el sistema de axiomas: eliminar las paradojas y asegurar su demostración del teorema del buen orden. [64] Zermelo había probado este teorema en 1904 usando el axioma de elección, pero su demostración fue criticada por una variedad de razones. [65] Su respuesta a la crítica incluyó su sistema de axiomas y una nueva prueba del teorema del buen orden. Sus axiomas apoyan esta nueva prueba y eliminan las paradojas al restringir la formación de conjuntos. [66]

En 1923, John von Neumann desarrolló un sistema de axiomas que elimina las paradojas utilizando un enfoque similar al de Cantor, es decir, identificando colecciones que no son conjuntos y tratándolas de manera diferente. Von Neumann afirmó que una clase es demasiado grande para ser un conjunto si se puede poner en correspondencia uno a uno con la clase de todos los conjuntos. Definió un conjunto como una clase que es miembro de alguna clase y estableció el axioma: una clase no es un conjunto si y solo si hay una correspondencia uno a uno entre ella y la clase de todos los conjuntos. Este axioma implica que estas grandes clases no son conjuntos, lo que elimina las paradojas ya que no pueden ser miembros de ninguna clase. [67] Von Neumann también usó su axioma para probar el teorema del buen orden: como Cantor, asumió que los ordinales forman un conjunto. La contradicción resultante implica que la clase de todos los ordinales no es un conjunto. Entonces, su axioma proporciona una correspondencia uno a uno entre esta clase y la clase de todos los conjuntos. Esta correspondencia ordena bien la clase de todos los conjuntos, lo que implica el teorema del ordenamiento correcto. [68] En 1930, Zermelo definió modelos de teoría de conjuntos que satisfacen el axioma de von Neumann. [69]

El concepto de la existencia de un infinito real fue una preocupación compartida importante dentro de los ámbitos de las matemáticas, la filosofía y la religión. Conservar la ortodoxia de la relación entre Dios y las matemáticas, aunque no en la misma forma que sostenían sus críticos, fue durante mucho tiempo una preocupación de Cantor. [70] Abordó directamente esta intersección entre estas disciplinas en la introducción a su Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, donde destacó la conexión entre su visión del infinito y la filosófica. [71] Para Cantor, sus puntos de vista matemáticos estaban intrínsecamente vinculados a sus implicaciones filosóficas y teológicas: identificó el Infinito Absoluto con Dios, [72] y consideró que su trabajo sobre los números transfinitos le había sido comunicado directamente por Dios, quien había Cantor elegido para revelarlos al mundo. [5] Era un luterano devoto cuyas creencias cristianas explícitas dieron forma a su filosofía de la ciencia. [73] Joseph Dauben ha rastreado el efecto que tuvieron las convicciones cristianas de Cantor en el desarrollo de la teoría de conjuntos transfinitos. [74] [75]

El debate entre matemáticos surgió de puntos de vista opuestos en la filosofía de las matemáticas con respecto a la naturaleza del infinito real. Algunos sostenían la opinión de que el infinito era una abstracción que no era matemáticamente legítima y negaban su existencia. [76] Los matemáticos de las tres principales escuelas de pensamiento (el constructivismo y sus dos ramificaciones, el intuicionismo y el finitismo) se opusieron a las teorías de Cantor en este asunto. Para constructivistas como Kronecker, este rechazo del infinito real proviene de un desacuerdo fundamental con la idea de que las pruebas no constructivas como el argumento diagonal de Cantor son prueba suficiente de que algo existe, sosteniendo en cambio que se requieren pruebas constructivas. El intuicionismo también rechaza la idea de que el infinito actual es una expresión de cualquier tipo de realidad, pero llega a la decisión por un camino diferente al constructivismo. En primer lugar, el argumento de Cantor se basa en la lógica para demostrar la existencia de números transfinitos como una entidad matemática real, mientras que los intuicionistas sostienen que las entidades matemáticas no pueden reducirse a proposiciones lógicas, sino que se originan en las intuiciones de la mente. [77] En segundo lugar, la noción de infinito como expresión de la realidad está prohibida en el intuicionismo, ya que la mente humana no puede construir intuitivamente un conjunto infinito. [78] Matemáticos como L. E. J. Brouwer y especialmente Henri Poincaré adoptaron una postura intuicionista contra el trabajo de Cantor. Finalmente, los ataques de Wittgenstein eran finitistas: creía que el argumento diagonal de Cantor combinaba la intensión de un conjunto de números cardinales o reales con su extensión, fusionando así el concepto de reglas para generar un conjunto con un conjunto real. [9]

Algunos teólogos cristianos vieron el trabajo de Cantor como un desafío a la unicidad del infinito absoluto en la naturaleza de Dios. [6] En particular, los pensadores neotomistas vieron la existencia de un infinito real que consistía en algo más que Dios como poner en peligro "la pretensión exclusiva de Dios al infinito supremo". [79] Cantor creía firmemente que este punto de vista era una mala interpretación del infinito, y estaba convencido de que la teoría de conjuntos podría ayudar a corregir este error: [80] ". Las especies transfinitas están igualmente a disposición de las intenciones del Creador y Su voluntad absoluta e ilimitada como son los números finitos ". [81]

Cantor también creía que su teoría de los números transfinitos era contraria tanto al materialismo como al determinismo, y se sorprendió cuando se dio cuenta de que él era el único miembro de la facultad de Halle que lo hacía. no aferrarse a creencias filosóficas deterministas. [82]

Para Cantor era importante que su filosofía proporcionara una "explicación orgánica" de la naturaleza, y en su 1883 Grundlagen, dijo que tal explicación sólo podría producirse a partir de los recursos de la filosofía de Spinoza y Leibniz. [83] Al hacer estas afirmaciones, Cantor puede haber sido influenciado por FA Trendelenburg, a cuyos cursos de conferencias asistió en Berlín, y a su vez Cantor produjo un comentario en latín sobre el Libro 1 de Spinoza Ethica. FA Trendelenburg fue también examinador de Cantor's Habilitaciones. [84] [85]

En 1888, Cantor publicó su correspondencia con varios filósofos sobre las implicaciones filosóficas de su teoría de conjuntos. En un extenso intento de persuadir a otros pensadores y autoridades cristianos para que adoptaran sus puntos de vista, Cantor había mantenido correspondencia con filósofos cristianos como Tilman Pesch y Joseph Hontheim, [86] así como con teólogos como el cardenal Johann Baptist Franzelin, quien una vez respondió equiparando el teoría de los números transfinitos con panteísmo. [7] Cantor incluso envió una carta directamente al mismo Papa León XIII y le dirigió varios folletos. [80]

La filosofía de Cantor sobre la naturaleza de los números lo llevó a afirmar una creencia en la libertad de las matemáticas para postular y probar conceptos fuera del ámbito de los fenómenos físicos, como expresiones dentro de una realidad interna. Las únicas restricciones de este sistema metafísico son que todos los conceptos matemáticos deben estar desprovistos de contradicciones internas y que se derivan de definiciones, axiomas y teoremas existentes. Esta creencia se resume en su afirmación de que "la esencia de las matemáticas es su libertad". [87] Estas ideas son paralelas a las de Edmund Husserl, a quien Cantor había conocido en Halle. [88]

Mientras tanto, el propio Cantor se opuso ferozmente a los infinitesimales, describiéndolos como una "abominación" y como "el bacilo del cólera de las matemáticas". [40]

El artículo de Cantor de 1883 revela que era muy consciente de la oposición que sus ideas estaban encontrando: ". Me doy cuenta de que en esta empresa me coloco en una cierta oposición a los puntos de vista ampliamente sostenidos sobre el infinito matemático y a las opiniones frecuentemente defendidas sobre la naturaleza de los números . " [89]

Por lo tanto, dedica mucho espacio a justificar su trabajo anterior, afirmando que los conceptos matemáticos pueden introducirse libremente siempre que estén libres de contradicciones y se definan en términos de conceptos previamente aceptados. También cita a Aristóteles, René Descartes, George Berkeley, Gottfried Leibniz y Bernard Bolzano sobre el infinito. En cambio, siempre rechazó enérgicamente la filosofía de Kant, tanto en el ámbito de la filosofía de las matemáticas como en la metafísica. Compartió el lema de B. Russell "Kant o Cantor", y definió a Kant como "ese filisteo sofista que sabía tan poco de matemáticas". [90]

Los abuelos paternos de Cantor eran de Copenhague y huyeron a Rusia tras la interrupción de las guerras napoleónicas. Hay muy poca información directa sobre sus abuelos. [91] Cantor a veces fue llamado judío durante su vida, [92] pero también se le ha llamado de diversas maneras ruso, alemán y danés.

Jakob Cantor, el abuelo de Cantor, dio a sus hijos nombres de santos cristianos. Además, varios de los parientes de su abuela estaban en el servicio civil zarista, que no aceptaba a los judíos a menos que se convirtieran al cristianismo. El padre de Cantor, Georg Waldemar Cantor, fue educado en la misión luterana en San Petersburgo, y su correspondencia con su hijo muestra a ambos como devotos luteranos. Se sabe muy poco sobre el origen o la educación de George Woldemar. [93] Su madre, Maria Anna Böhm, era una austro-húngara nacida en San Petersburgo y bautizada como católica romana y se convirtió al protestantismo al casarse. Sin embargo, hay una carta del hermano de Cantor, Louis, a su madre, que dice:

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber. [93]

("Incluso si descendiéramos de judíos diez veces más, y aunque pueda estar, en principio, completamente a favor de la igualdad de derechos para los hebreos, en la vida social prefiero a los cristianos"), lo que podría interpretarse en el sentido de que ella era de ascendencia judía. [94]

Hubo declaraciones documentadas, durante la década de 1930, que cuestionaron esta ascendencia judía:

Más a menudo [es decir, que la ascendencia de la madre] se ha discutido la cuestión de si Georg Cantor era de origen judío. Sobre esto se informa en un aviso del Instituto Genealógico Danés en Copenhague del año 1937 relativo a su padre: "Por la presente se declara que Georg Woldemar Cantor, nacido en 1809 o 1814, no está presente en los registros de la comunidad judía, y que sin duda no era judío "[93].

También se dice más tarde en el mismo documento:

También los esfuerzos durante mucho tiempo del bibliotecario Josef Fischer, uno de los mejores expertos en genealogía judía en Dinamarca, encargado de identificar a los profesores judíos, de que Georg Cantor era de ascendencia judía, terminaron sin resultado. [Algo parece estar mal con esta oración, pero el significado parece bastante claro.] En las obras publicadas de Cantor y también en su Nachlass no hay declaraciones de él mismo que se relacionen con el origen judío de sus antepasados. Seguramente hay en el Nachlass una copia de una carta de su hermano Ludwig del 18 de noviembre de 1869 a su madre con unas desagradables declaraciones antisemitas, en la que se dice entre otras cosas:. [93]

(el resto de la cita termina con la primera cita anterior). En Hombres de Matemáticas, Eric Temple Bell describió a Cantor como "de pura ascendencia judía en ambos lados", aunque ambos padres fueron bautizados. En un artículo de 1971 titulado "Hacia una biografía de Georg Cantor", el historiador británico de las matemáticas Ivor Grattan-Guinness menciona (Annals of Science 27, págs. 345–391, 1971) que no pudo encontrar pruebas de ascendencia judía. (También afirma que la esposa de Cantor, Vally Guttmann, era judía).

En una carta escrita por Georg Cantor a Paul Tannery en 1896 (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, París, 1934, p. 306), Cantor afirma que sus abuelos paternos eran miembros de la comunidad judía sefardí de Copenhague. Específicamente, Cantor afirma al describir a su padre: "Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde" ("Nació en Copenhague de padres judíos (lit: 'israelitas') de los portugueses locales- Comunidad judía. ") [95]

Además, el tío abuelo materno de Cantor, [96] un violinista húngaro Josef Böhm, ha sido descrito como judío, [97] lo que puede implicar que la madre de Cantor era al menos parcialmente descendiente de la comunidad judía húngara. [98]

En una carta a Bertrand Russell, Cantor describió su ascendencia y autopercepción de la siguiente manera:

Ni mi padre ni mi madre eran de sangre alemana, siendo el primero un danés, nacido en Copenhague, mi madre de descendencia austriaca húngara. Debe saber, señor, que no soy un regular solo Germain, porque nací el 3 de marzo de 1845 en Saint Peterborough, capital de Rusia, pero fui con mi padre, mi madre, mis hermanos y mi hermana, de once años en el año 1856, a Alemania. [99]

Hasta la década de 1970, las principales publicaciones académicas sobre Cantor fueron dos breves monografías de Arthur Moritz Schönflies (1927), en gran parte la correspondencia con Mittag-Leffler, y Fraenkel (1930). Ambos estaban en segunda y tercera mano y ninguno tenía mucho en su vida personal. La brecha se llenó en gran medida con Eric Temple Bell Hombres de Matemáticas (1937), que uno de los biógrafos modernos de Cantor describe como "quizás el libro moderno más leído sobre la historia de las matemáticas" y como "uno de los peores". [100] Bell presenta la relación de Cantor con su padre como edípica, las diferencias de Cantor con Kronecker como una disputa entre dos judíos y la locura de Cantor como desesperación romántica por su fracaso en ganar la aceptación de sus matemáticas. Grattan-Guinness (1971) encontró que ninguna de estas afirmaciones era cierta, pero se pueden encontrar en muchos libros del período intermedio, debido a la ausencia de cualquier otra narrativa. Hay otras leyendas, independientes de Bell, incluida una que etiqueta al padre de Cantor como un expósito, enviado a San Petersburgo por padres desconocidos. [101] La biografía de Joseph Dauben contiene una crítica del libro de Bell. [102] Escribe Dauben:

Cantor dedicó parte de su correspondencia más vituperante, así como una parte de la Beiträge, a atacar lo que describió en un momento como el "bacilo del cólera infinitesimal de las matemáticas", que se había extendido desde Alemania a través del trabajo de Thomae, du Bois Reymond y Stolz, para infectar las matemáticas italianas. Cualquier aceptación de infinitesimales significaba necesariamente que su propia teoría del número estaba incompleta. Por tanto, aceptar la obra de Thomae, du Bois-Reymond, Stolz y Veronese era negar la perfección de la propia creación de Cantor. Es comprensible que Cantor lanzó una campaña exhaustiva para desacreditar el trabajo de Veronese en todas las formas posibles. [103]

  1. ^Grattan-Guinness 2000, pág. 351.
  2. ^ El material biográfico de este artículo se ha extraído principalmente de Dauben 1979. Grattan-Guinness 1971 y Purkert e Ilgauds 1985 son fuentes adicionales útiles.
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  10. ^ aBDauben 1979, pág. 280: ". La tradición popularizada por Arthur Moritz Schönflies culpó a la persistente crítica de Kronecker y la incapacidad de Cantor para confirmar su hipótesis del continuo" por los recurrentes episodios de depresión de Cantor.
  11. ^Dauben 2004, pág. 1. El texto incluye una cita de 1964 del psiquiatra Karl Pollitt, uno de los médicos examinadores de Cantor en Halle Nervenklinik, refiriéndose a la enfermedad mental de Cantor como "maníaco-depresión cíclica".
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  36. ^Dauben 1979, pág. 283.
  37. ^ Para un análisis del artículo de König, véase Dauben 1979, págs. 248-250. Para conocer la reacción de Cantor, véase Dauben 1979, págs. 248, 283.
  38. ^Dauben 1979, págs. 283-284.
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  44. ^Cantor 1874
  45. ^ Un conjunto contable es un conjunto que es finito o numerable, los conjuntos numerables son, por lo tanto, los conjuntos contables infinitos. Sin embargo, esta terminología no se sigue universalmente y, a veces, "numerable" se utiliza como sinónimo de "contable".
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  53. ^ Esto sigue de cerca la primera parte del artículo de Cantor de 1891.
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  55. ^ Por ejemplo, los problemas geométricos planteados por Galileo y John Duns Scotus sugirieron que todos los conjuntos infinitos eran equinumeros - ver
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  57. ^ Para esto, y más información sobre la importancia matemática del trabajo de Cantor sobre la teoría de conjuntos, ver, por ejemplo, Suppes 1972.
  58. ^ Liouville, Joseph (13 de mayo de 1844). A propos de l'existence des nombres trascendants.
  59. ^ Los números algebraicos reales son las raíces reales de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros.
  60. ^ Para obtener más detalles sobre el artículo de Cantor, consulte el primer artículo de teoría de conjuntos de Georg Cantor y
  61. Gray, Robert (1994). "Georg Cantor y números trascendentales" (PDF). Mensual Matemática Estadounidense. 101 (9): 819–832. doi: 10.2307 / 2975129. JSTOR2975129. . Gray (págs. 821–822) describe un programa de computadora que usa las construcciones de Cantor para generar un número trascendental.
  62. ^ La construcción de Cantor comienza con el conjunto de trascendentales T y elimina un subconjunto contable <tnorte> (por ejemplo, tnorte = e / n). Llamar a este conjunto T0. Luego T = T0 ∪ <tnorte> = T0 ∪ <t2norte-1> ∪ <t2norte>. El conjunto de reales R = T ∪ <anorte> = T0 ∪ <tnorte> ∪ <anorte> donde anorte es la secuencia de números algebraicos reales. Por lo tanto T y R son la unión de tres conjuntos disjuntos por pares: T0 y dos conjuntos contables. Una correspondencia uno a uno entre T y R viene dada por la función: F(t) = t si tT0, F(t2norte-1) = tnorte, y F(t2norte) = anorte. Cantor en realidad aplica su construcción a los irracionales en lugar de a los trascendentales, pero sabía que se aplica a cualquier conjunto formado al eliminar innumerables números del conjunto de reales (Cantor 1879, p. 4).
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  68. ^Dauben 1979, págs.69, 324 63n. El documento se presentó en julio de 1877. Dedekind lo apoyó, pero retrasó su publicación debido a la oposición de Kronecker. Weierstrass lo apoyó activamente.
  69. ^ Algunos matemáticos consideran que estos resultados han zanjado la cuestión y, a lo sumo, permiten que sea posible examinar las consecuencias formales de CH o de su negación, o de axiomas que implican alguno de ellos. Otros continúan buscando axiomas "naturales" o "plausibles" que, cuando se agregan a ZFC, permitirán una prueba o refutación de CH, o incluso pruebas directas a favor o en contra del propio CH. Entre los más destacados se encuentra W. Hugh. Woodin. Uno de los últimos artículos de Gödel sostiene que el CH es falso y que el continuo tiene cardinalidad Aleph-2.
  70. ^Cantor 1883, págs. 587–588. Traducción al inglés: Ewald 1996, págs. 916–917.
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  73. ^Moore 1982, pág. 51. Prueba de equivalencia: si un conjunto está bien ordenado, entonces su cardinalidad es un aleph ya que los alephs son los cardinales de conjuntos bien ordenados. Si la cardinalidad de un conjunto es un aleph, entonces puede estar bien ordenado, ya que existe una correspondencia biunívoca entre él y el conjunto bien ordenado que define el aleph.
  74. ^Hallett 1986, págs. 166-169.
  75. ^ La prueba de Cantor, que es una prueba por contradicción, comienza asumiendo que hay un conjunto S cuya cardinalidad no es un aleph. Una función de los ordinales a S se construye eligiendo sucesivamente diferentes elementos de S para cada ordinal. Si esta construcción se queda sin elementos, entonces la función ordena bien el conjunto S. Esto implica que la cardinalidad de S es un aleph, que contradice la suposición sobre S. Por lo tanto, la función mapea todos los ordinales uno a uno en S. La imagen de la función es una submultiplicidad inconsistente contenida en S, entonces el set S es una multiplicidad inconsistente, lo cual es una contradicción. Zermelo criticó la construcción de Cantor: "aquí se aplica la intuición del tiempo a un proceso que va más allá de toda intuición, y se postula una entidad ficticia de la que se supone que podría hacer sucesivo elecciones arbitrarias ". (Hallett 1986, págs. 169-170.)
  76. ^Moore 1988, págs. 52–53 Moore y Garciadiego 1981, págs. 330–331.
  77. ^Moore y Garciadiego 1981, págs. 331, 343 Purkert 1989, pág. 56.
  78. ^Moore 1982, págs. 158-160. Moore sostiene que este último fue su principal motivación.
  79. ^ Moore dedica un capítulo a esta crítica: "Zermelo y sus críticos (1904-1908)", Moore 1982, págs. 85-141.
  80. ^Moore 1982, págs. 158-160. Zermelo 1908, págs. 263–264 Traducción al inglés: van Heijenoort 1967, pág. 202.
  81. ^Hallett 1986, págs. 288, 290-291. Cantor había señalado que las multiplicidades inconsistentes enfrentan la misma restricción: no pueden ser miembros de ninguna multiplicidad. (Hallett 1986, pág.286).
  82. ^Hallett 1986, págs. 291-292.
  83. ^Zermelo 1930 Traducción al inglés: Ewald 1996, págs. 1208–1233.
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Literatura secundaria Editar

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¿Los problemas que Fibonacci resolvió en su trabajo & ldquoFlos & rdquo le planteó específicamente? - Historia

En el capítulo anterior, mencionamos al emperador Federico II, cuya corte estaba ubicada en Sicilia. Su estímulo a las artes y las ciencias dio voz a uno de los matemáticos más notables de la Edad Media, Leonardo de Pisa, con quien comenzamos nuestra discusión sobre las matemáticas de la Baja Edad Media.

29.1 Leonardo de Pisa (Fibonacci)

Tan pronto como las traducciones del árabe al latín estuvieron disponibles de forma generalizada en los siglos XII y XIII, los europeos occidentales comenzaron a aprender sobre álgebra. La primera obra traducida (por Robert de Chester en 1145) fue la de al-Khwarizmi Álgebra. Desde el principio aparecieron varios matemáticos talentosos que pudieron hacer contribuciones originales al desarrollo del álgebra. En algunos casos, los libros que escribieron no estaban destinados a ser publicados durante muchos siglos, pero al menos uno de ellos formaba parte de una tradición italiana de álgebra que se prolongó durante varios siglos. Esa tradición comienza con Leonardo, quien escribió varios trabajos matemáticos, el más conocido de los cuales es el Liber abaci. 1

29.1.1 El Liber abaci

Muchos de los problemas en el Liber abaci (Libro de Computación) reflejan los cálculos de rutina que deben realizarse al convertir monedas. Estas son aplicaciones de la Regla de Tres que hemos encontrado en Brahmagupta y Bhaskara. Muchos de los otros problemas son pura fantasía. El endeudamiento de Leonardo con las fuentes árabes fue detallado por Levey (1966), quien enumeró 29 problemas en el Liber abaci que son idénticos a los problemas en el Álgebra de Abu Kamil. En particular, el problema de separar el número 10 en dos partes que satisfagan una condición adicional ocurre muchas veces. Por ejemplo, un problema es encontrar X tal que .

29.1.2 La secuencia de Fibonacci

El más famoso (no el más profundo) de los logros de Leonardo es un problema de su Liber abaci, cuya segunda edición apareció en 1202: ¿Cuántas parejas de conejos se pueden criar de una pareja en un año, dado que cada pareja produce una nueva pareja cada mes, comenzando dos meses después de su nacimiento?

Por enumeración de casos, el autor concluye que serán 377 pares, y “de esta manera se puede hacer para el caso de un número infinito de meses”. El razonamiento es simple. Cada mes, las parejas que estaban vivas dos meses antes producen duplicados de sí mismos. De ahí el número total de conejos después norte + 2 meses es el número con vida después norte + 1 mes más el número de vivos después norte meses. Es decir, cada término de la secuencia es la suma de los dos números anteriores.

Suponiendo que la pareja original era una pareja madura, lista para reproducirse, la secuencia generada de esta manera & mdash comenzando a principios de año, cuando han transcurrido 0 meses & mdashis (1, 2, 3, 5, 8,...), Y su decimotercer. término es 377. Esta secuencia se ha conocido como el secuencia Fibonacci desde la impresión del Liber abaci En el siglo diecinueve. La secuencia de Fibonacci ha sido una fuente inagotable de identidades. Se han obtenido muchas representaciones curiosas de sus términos, y hay una revista matemática, la Trimestral de Fibonacci, nombrado en su honor y dedicado a su tradición.

Una aplicación práctica

En 1837 y 1839, el cristalógrafo Auguste Bravais (1811-1863) y su hermano Louis (1801-1843) publicaron artículos sobre el crecimiento de las plantas. 2 En estos artículos estudiaron los patrones en espiral en los que nuevas ramas crecen de las ramas de ciertos árboles y clasificaron las plantas en varias categorías de acuerdo con este patrón. Para una de estas categorías, dieron la cantidad de rotación alrededor de la rama entre ramas sucesivas como 137 ° 30 & prime 28 ”. Ahora bien, difícilmente se podría medir la rama de un árbol con tanta precisión. Medir dentro de los 10 ° requeriría una precisión extraordinaria. Para refinar esas mediciones crudas promediando la precisión declarada de 1 ”, es decir, 1/3600 de grado, se requerirían miles de mediciones individuales. De hecho, las mediciones se realizaron de forma más indirecta, contando el número total de ramas después de cada vuelta completa de la espiral. Muchas observaciones convencieron a los hermanos Bravais de que normalmente había tres ramales en poco menos de dos vueltas, cinco en poco más de tres vueltas, ocho en poco menos de cinco vueltas y trece en poco más de ocho vueltas. Por esa razón, tomaron la cantidad real de revolución entre ramas sucesivas como el número que llamamos de una revolución completa (360 °), ya que

Observe que 360 ​​° & divide & Phi ≈ 222. 4922359 ° ≈ 222 ° 29 y primo 32 ”= 360 ° y menos (137 ° 30 y primo 28”). Una ilustración de este tipo de crecimiento se muestra en Figura 29.1. La imagen muestra tres vistas de una rama de un manzano en flor con las ramitas cortadas y los puntos de donde crecieron marcados con chinchetas. Cuando estos pasadores están unidos por una cuerda, la cuerda sigue una trayectoria helicoidal de pendiente casi constante a lo largo de la rama. Simplemente contando, uno puede hacerse una idea de la numero promedio de ramitas por turno. Por ejemplo, la cuarta intersección es entre los pines 6 y 7, lo que indica que el número promedio de pines por vuelta hasta ese punto está entre y . Se puede ver que los pines que caen más cerca de la intersección de este camino helicoidal con la línea meridiana marcada a lo largo de la rama son pines numerados 3, 5, 8 y 13, que son números de Fibonacci, y que las intersecciones son cerca vienen al final de 2, 3, 5 y 8 revoluciones, respectivamente, también los números de Fibonacci. Por tanto, el número medio de ramitas por turno es aproximadamente o o o . Los hermanos Bravais sabían que las proporciones de los números de Fibonacci sucesivos son los términos en la expansión de fracción continua de la Proporción áurea. , y por eso eligieron esta elegante forma de formular lo que habían observado.Mirando el lado de la intersección donde están los pines correspondientes Figura 29.1, puede ver que la primera y la tercera de estas aproximaciones son subestimaciones y la segunda y cuarta son sobreestimaciones. También puede ver que la aproximación mejora a medida que aumenta el número de vueltas.

Figura 29.1 Tres vistas de una rama de un manzano en flor.

Este patrón no es universal entre plantas, aunque los hermanos Bravais pudieron encontrar varias clases de plantas que exhiben un patrón de este tipo, con valores diferentes para los dos primeros términos de la secuencia.

29.1.3 El Liber quadratorum

En su Liber quadratorum [Libro de cuadrados (Sigler, 1987)] Leonardo especuló sobre la diferencia entre números cuadrados y no cuadrados. En el prólogo, dirigido al emperador Federico II, Leonardo dice que se había inspirado para escribir el libro porque un tal Juan de Palermo, a quien había conocido en la corte de Federico, lo había desafiado a encontrar un número cuadrado tal que si 5 es agregado o restado de él, el resultado es nuevamente un cuadrado. 3 Esta pregunta lo inspiró a reflexionar sobre la diferencia entre números cuadrados y no cuadrados. Luego nota su placer al saber que Frederick realmente había leído uno de sus libros anteriores y usa ese hecho como justificación para escribir sobre el problema del desafío.

los Liber quadratorum está escrito en el espíritu de Diofanto y muestra una aguda apreciación de las condiciones bajo las cuales un número racional es un cuadrado. De hecho, la novena de sus 24 proposiciones es un problema de Diofanto: Dado un número no cuadrado que es la suma de dos cuadrados, encuentre un segundo par de cuadrados que tengan este número como su suma. Este problema es el Problema 9 del Libro 2 de Diofanto, como se discutió en la Sección 4 del Capítulo 9. La solución de Leonardo de este problema, como la de Diofanto, implica una gran cantidad de arbitrariedad, ya que el problema no tiene una solución única. El parecido en algunos puntos es tan fuerte que uno se inclina a pensar que Leonardo vio una copia de Diofanto o, más probablemente, una obra árabe comentando y ampliando la obra de Diofanto. Esta cuestión es discutida por el traductor del Liber quadratorum (Sigler, 1987, pp. Xi-xii), quien señala que se han señalado fuertes semejanzas entre los Liber quadratorum y un libro de Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji (953-1029) llamado Fakhri, 4 partes de las cuales fueron copiadas del Arithmetica, pero que también hay partes del Liber quadratorum que son originales.

Un avance en el Liber quadratorum es el uso de letras generales en un argumento. Aunque en algunas pruebas Leonardo argumenta tanto como Diofanto, usando números específicos, se vuelve más abstracto en otras. Por ejemplo, la Proposición 5 requiere encontrar dos números, la suma de cuyos cuadrados es un cuadrado que también es la suma de los cuadrados de dos números dados. Dice que proceda de la siguiente manera. Sean los dos números dados. a . y. B . y la suma de sus cuadrados. gramo . . Ahora tome otros dos números. Delaware . y. ez . [no proporcional a los números dados] cuya suma de cuadrados es un cuadrado. Estos dos números están organizados como los catetos de un triángulo rectángulo. Si el cuadrado de la hipotenusa de este triángulo es. gramo ., el problema esta resuelto. Si el cuadrado de la hipotenusa es mayor que. gramo ., marca la raíz cuadrada de. gramo . sobre la hipotenusa. Se conocen las proyecciones (como las llamaríamos) de esta porción de la hipotenusa en cada uno de los catetos, ya que sus relaciones con la raíz cuadrada de. gramo . son conocidos. Además, esa razón es racional, ya que son las mismas que las razones de. a . y. B . a la hipotenusa del triángulo original. Por tanto, estas dos proyecciones proporcionan el nuevo par de números. Siendo proporcional a. a . y. B ., que no son proporcionales a los dos números dados originalmente, deben ser diferentes de esos números.

Este argumento es más convincente, porque es más abstracto, que las pruebas con ejemplos, pero la imagen geométrica juega un papel importante para hacer comprensible la prueba.

29.1.4 Los Flos

El enfoque de Leonardo al álgebra también comienza a parecer moderno en otros aspectos. En una de sus obras, llamada Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometriam vel ad utrumque pertinententum [El pleno desarrollo 5 de las soluciones de ciertas preguntas relativas a números, geometría o ambos (Boncompagni 1854, p. 4)] informa sobre el desafío de Juan de Palermo mencionado anteriormente, que consistía en encontrar un número satisfactorio X 3 + 2X 2 + 10X = 20 usando los métodos dados por Euclides en el Libro 10 de la Elementos, es decir, construir una línea de esta longitud utilizando regla y compás. Al trabajar en esta cuestión, Leonardo hizo dos importantes contribuciones al álgebra, una numérica y otra teórica. La contribución numérica fue dar la raíz positiva única en notación sexagesimal correcta a seis lugares. La contribución teórica fue mostrar mediante el uso de las propiedades de divisibilidad de los números que no puede haber una solución racional o una solución obtenida usando solo números racionales y raíces cuadradas de números racionales.

29.2 Números hindúes-arábigos

los Liber abaci Abogó por el uso de los números arábigos hindúes con los que estamos familiarizados. En parte debido a la influencia de ese libro, las ventajas de este sistema llegaron a ser apreciadas, y en dos siglos estos números estaban ganando aceptación general. En 1478, se publicó una aritmética en Treviso, Italia, que explica el uso de números arábigos hindúes y contiene cálculos en la forma que se muestra en Figura 26.1 del Capítulo 26. En el siglo XVI, eruditos como Robert Recorde (1510-1558) en Gran Bretaña y Adam Ries (1492-1559) en Alemania, defendieron el uso del sistema hindú-árabe y lo establecieron como un estándar universal.

El sistema fue explicado por el matemático e ingeniero flamenco Simon Stevin (1548-1620) en su libro de 1585 De Thiende (Decimales). Stevin tomó solo unas pocas páginas para explicar, en términos esencialmente modernos, cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números decimales. Luego mostró la aplicación de este método de computación para encontrar áreas de tierra y los volúmenes de las tinas de vino. Escribió de forma concisa, como dijo, "porque aquí estamos escribiendo para profesores, no para estudiantes". Sin embargo, su notación parece un poco extraña, ya que puso un 0 en un círculo donde ahora tenemos el punto decimal y, a partir de entonces, indicó el rango de cada dígito con un número rodeado de manera similar. Por ejemplo, escribiría 13,4832 como . Aquí está su explicación del problema de expresar 0.07 y dividir 0.00004:

Cuando el divisor es mayor [tiene más dígitos] que el dividendo, unimos al dividendo tantos ceros como se desee o sea necesario. Por ejemplo, si es ser dividido por , Coloco unos 0 junto al 7, es decir, 7000. Este número se divide como se indica arriba, de la siguiente manera:

Por tanto, el cociente es 1750 0 (Gericke y Vogel, 1965, p. 19).

Desde una ilustración de 1535 hasta elMargarita philosophica (Perla filosófica) publicado por Gregor Reisch (1467-1525) en 1503. Copyright y copia FotoMarburg / Art Resource.

Excepto por la ubicación de los dígitos y las marcas de tachado, esta notación es esencialmente la que utilizan ahora los niños en edad escolar en los Estados Unidos. En otros países & mdashRussia, por ejemplo & mdash, el divisor se escribiría justo a la derecha del dividendo y el cociente justo debajo del divisor.

Stevin también supo qué hacer si la división no sale parejo. Señaló que cuando está dividido por , el resultado es una sucesión infinita de 3 y que nunca se alcanzará la respuesta exacta. Comentó: “En tal caso, uno puede ir tan lejos como lo requiera el caso particular y descuidar el exceso. Ciertamente es cierto que , o , etc., son exactamente iguales al resultado requerido, pero nuestro objetivo es trabajar solo con números enteros en este cálculo decimal, ya que tenemos en mente lo que ocurre en los negocios humanos, donde se ignoran [pequeñas partes de pequeñas medidas]. " Aquí tenemos un caso claro en el que se admite la existencia de infinitas expansiones decimales, sin ningún indicio de la posibilidad de números irracionales. Stevin era un ingeniero, no un matemático teórico. Sus ejemplos se limitaron a lo que tiene valor práctico en los negocios y la ingeniería, y no intentó mostrar cómo calcular con una expansión decimal realmente infinita.

Stevin, sin embargo, sugirió una reforma en la trigonometría que fue ignorada hasta el advenimiento de las calculadoras de mano, remarcando que, “si podemos confiar en nuestra experiencia (con el debido respeto a la Antigüedad y pensando en términos de utilidad general), es Claro que la serie de divisiones entre 10, no entre 60, es la más eficiente, al menos entre las que por naturaleza son posibles ”. Sobre esa base, Stevin sugirió que los grados se dividan en fracciones decimales en lugar de minutos y segundos. Las calculadoras portátiles modernas ahora muestran ángulos exactamente de esta manera, a pesar de la observación desdeñosa de un matemático del siglo XX de que esta mezcla de notación sexagesimal y decimal prueba que “se necesitaron cuatro milenios para producir un sistema de medición de ángulos que es completamente absurdo. "

29.3 Jordanus Nemorarius

El traductor y editor del libro de Jordanus De numeris datis (En números dados, Hughes, 1981, pág. 11) dice: “Es razonable suponer. . .que Jordanus fue influenciado por el trabajo de al-Khwarizmi ”. Esta conclusión se llegó a la base de la clasificación de Jordanus de las ecuaciones cuadráticas y su orden de exponer los tres tipos, entre otras semejanzas entre las dos obras.

De numeris datis es el equivalente algebraico de Euclides Datos. Donde Euclides dice que se da (se determina) una línea si se da su razón a una línea dada, Jordanus Nemorarius dice que se da un número si se da su razón a un número dado. El hecho elemental bien conocido de que se pueden encontrar dos números si se conocen su suma y diferencia se generaliza al teorema de que se puede encontrar cualquier conjunto de números si se conocen las diferencias de los números sucesivos y la suma de todos los números. Este libro contiene una gran variedad de conjuntos de datos que determinan los números. Por ejemplo, Si se conoce la suma de los cuadrados de dos números y se conoce el cuadrado de la diferencia de los números, se pueden encontrar los números.. Los cuatro libros de De numeris datis contienen alrededor de 100 de estos resultados. Estos resultados admiten una interpretación puramente algebraica. Por ejemplo, en el libro 4, Jordanus Nemorarius escribe:

Si un cuadrado con la suma de su raíz multiplicada por un número dado da como resultado un número dado, entonces se dará el cuadrado en sí. [pag. 100] 6

Donde los matemáticos anteriores habrían demostrado esta proposición con ejemplos, Jordanus Nemorarius usa letras que representan números abstractos. La afirmación es que solo hay un número (positivo) X tal que X 2 + & alphax = &beta, y eso X se puede encontrar si &alfa y &beta son dados.

29.4 Nicole d'Oresme

Una obra titulada Tractatus de latitudinibus formarum (Tratado sobre la latitud de las formas) fue publicado en París en 1482 y adscrito a Oresme, pero probablemente escrito por uno de sus estudiantes. Contiene descripciones de la representación gráfica de "intensidades". Este concepto encuentra diversas expresiones en la física, que corresponden intuitivamente a la idea de densidad. En el lenguaje de Oresme, una "intensidad" es cualquier constante de proporcionalidad. La velocidad, por ejemplo, es la "intensidad" del movimiento.

Pensamos en la geometría analítica como la aplicación del álgebra a la geometría. Sin embargo, sus orígenes en Europa son anteriores al período alto del álgebra europea en un siglo o más. El primer ajuste en la forma en que los matemáticos piensan sobre las dimensiones físicas, un paso esencial en el camino hacia la geometría analítica, se produjo en el siglo XIV. La idea crucial que se encuentra en la representación de la distancia como el "área bajo la curva de velocidad" es que, dado que el área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud y el ancho y la distancia recorrida a velocidad constante se calcula multiplicando la velocidad y el tiempo, se sigue que si se toma una línea proporcional al tiempo y una línea perpendicular a ella es proporcional a una velocidad (constante), el área del rectángulo resultante es proporcional a la distancia recorrida.

Oresme consideró tres formas de cualidades, que denominó uniforme, uniformemente diferir, y difformly difformly. A estas clasificaciones las llamaríamos constantes, lineales y no lineales. Los ejemplos se muestran en Figura 29.2, que se puede encontrar en otra de las obras de Oresme. Oresme (o sus estudiantes) se dieron cuenta de que el "difformly difform" constituía una gran clase de cualidades y mencionó específicamente que un semicírculo podría ser la representación de tal cualidad.

Figura 29.2 Clasificación de movimientos de Nicole Oresme.

La ventaja de representar un distancia Por una zona en lugar de aparecer una línea en el caso de que la velocidad cambiara durante un movimiento. En el caso no trivial más simple, la velocidad fue uniformemente diferente. Este es el caso de la aceleración constante. En ese caso, la distancia recorrida es la que habría sido si el cuerpo se hubiera movido todo el tiempo con la velocidad que tenía en el punto medio del tiempo de viaje. Este es el caso que ahora se llama uniformemente acelerado movimiento. Según Clagett (1968, p. 617), esta regla fue establecida por primera vez por William Heytesbury (ca. 1313-ca. 1372) de Merton College, Oxford alrededor de 1335 y fue bien conocida durante la Edad Media. Boyer (1949, p. 83) dice que la regla fue establecida en esta época por otro erudito de Oxford del siglo XIV llamado Richard Suiseth, 7 conocido como Calculadora por su libro Liber calculatorum. Suiseth comparte con Oresme el mérito de haber demostrado que la serie armónica () diverge.

La regla que se acaba de enunciar se llama Regla de Merton. En su libro De configurationibus qualitatum et motuum, Oresme aplicó estos principios al análisis de dicho movimiento y dio una demostración geométrica simple de la regla de Merton. Ilustró los tres tipos de movimiento dibujando una figura similar a Figura 29.2. Continuó diciendo que si una cualidad diferente se componía de partes uniformes o uniformemente diferentes, como en el ejemplo de Figura 29.2, su cantidad podría medirse (sumando) sus partes. Luego llevó este principio al límite, diciendo que si la calidad era diferente pero no estaba formada por partes uniformemente diferentes, digamos representadas por una curva, entonces "es necesario recurrir a la medición mutua de figuras curvas" (Clagett 1968, pág.410). Esta afirmación debe significar que la distancia recorrida es el "área bajo la curva de velocidad" en los tres casos. Lamentablemente, Oresme no dio ningún ejemplo del caso más general, pero difícilmente podría haberlo hecho, ya que la medición de figuras delimitadas por curvas era todavía muy primitiva en su época.

29.5 Trigonometría: Regiomontanus y Pitiscus

A finales de la Edad Media, los tratados traducidos al latín del árabe y el griego se convirtieron en la base de teorías matemáticas cada vez más elaboradas.

29.5.1 Regiomontanus

La geometría analítica tal como la conocemos hoy sería impensable sin la trigonometría plana. Las traducciones latinas de textos árabes de trigonometría, como el texto de Nasir al-Din al-Tusi, comenzaron a circular en Europa a finales de la Edad Media. Estos trabajos proporcionaron la base para libros como De triangulis omnimodis (Sobre triángulos generales) de Regiomontanus, publicado en 1533, más de medio siglo después de la muerte del autor. Este libro contenía trigonometría casi en la forma que todavía se enseña. El libro 2, por ejemplo, contiene como primer teorema la ley de los senos para triángulos planos, que afirma que los lados de los triángulos son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a ellos. La principal diferencia entre esta trigonometría y la nuestra es que un seno sigue siendo un línea preferible a proporción. Se refiere a un arco en lugar de a un ángulo. Una vez se creyó que Regiomontanus también descubrió la ley de los senos para los triángulos esféricos (Proposición 16 del Libro 4), 8 pero ahora sabemos que este teorema lo conocían al menos 500 años antes los matemáticos musulmanes cuya obra debió leer Regiomontanus.

29.5.2 Pitiscus

Un libro más avanzado sobre trigonometría, que reelaboró ​​el razonamiento de Heron sobre el área de un triángulo dados sus lados, fue Trigonometri y aelig sive de dimensione triangulorum libri quinque (Cinco libros de trigonometría, o sobre el tamaño de los triángulos), publicado en 1595 y escrito por el teólogo calvinista Bartholomeus Pitiscus (1561-1613). Este fue el libro que estableció el nombre trigonometría para este tema a pesar de que las funciones básicas se llaman circular funciones (Figura 29.3). Pitiscus mostró cómo determinar las partes en las que se divide un lado de un triángulo por la altitud, dadas las longitudes de los tres lados, o, a la inversa, cómo determinar un lado de un triángulo conociendo los otros dos lados y la longitud de la porción. del tercer lado cortado por la altitud. Para garantizar que los ángulos adyacentes al lado fueran agudos, estableció el teorema solo para la altitud desde el vértice del ángulo más grande.

Figura 29.3 Las tres funciones trigonométricas básicas: la secante transmisión exterior, que corta el círculo por la tangente AB, que toca el círculo del seno CD, que es la mitad de un acorde.

La forma de Pitiscus de derivar su relación fundamental fue la siguiente. Si el lado más corto del triángulo A B C es C.A. y el mas largo es antes de Cristo, deja que la altitud antes de Cristo ser AG, como en Figura 29.4. Dibuja el círculo a través C con centro en A, así que eso B se encuentra fuera del círculo, y deje que las intersecciones del círculo con AB y antes de Cristo ser mi y F, respectivamente. Luego extiende licenciado en Letras para encontrarme con el círculo en Dy conectar CD. Entonces & angBFE es el suplemento de & angCFE. Pero y angEDC también es complementario de & angCFE, ya que los dos están inscritos en arcos que dividen el círculo. Por lo tanto, & angBFE = & ang CDB, y así los triángulos BCD y BEF son similares. Resulta que , y desde , , , y , encontramos

Observa eso . Cuando se hace esta sustitución, obtenemos lo que ahora se conoce como el ley de los cosenos:

Figura 29.4 Derivación de Pitiscus de las proporciones en las que una altitud divide un lado de un triángulo.

Pitiscus también dio una solución algebraica del problema de la trisección descubierto por un matemático anterior llamado Jobst B & uumlrgi (1552-1632). La solución se había basado en el hecho de que la cuerda de un ángulo triple es tres veces la cuerda del ángulo menos el cubo de la cuerda del ángulo. Esta relación no tiene sentido en términos de dimensión geométrica, es una relación puramente numérica. Es interesante que se exprese en términos de acordes, ya que seguramente Pitiscus conocía los senos.

29.6 Una habilidad matemática: próstafia y aligresis

Pitiscus necesitaba trigonometría para hacer astronomía, especialmente para resolver triángulos esféricos. Dado que los cálculos en tales problemas a menudo se vuelven bastante largos, Pitiscus descubrió (probablemente en los escritos de otros matemáticos) una forma de acortar el trabajo. Mientras que la dificultad de sumar y restar crece a un ritmo lineal uniforme con el número de dígitos que se suman, multiplicar dos norte-requiere números de dígitos del orden de 2norte 2 operaciones binarias separadas sobre enteros. Por tanto, el trabajo se vuelve excesivo y propenso a errores para los números enteros con un número apreciable de dígitos. A medida que la astronomía se vuelve más precisa, por supuesto, aumenta el número de dígitos a los que se pueden medir cantidades. Por tanto, hace algunos siglos surgió la necesidad de una forma más corta y menos propensa a errores de realizar cálculos aproximados.

El resultado final de la búsqueda de tal método fue el tema de los logaritmos. Esa invención, sin embargo, requería un nuevo y diferente punto de vista en álgebra. Antes de que apareciera, los matemáticos habían encontrado una manera de hacer que una tabla de senos cumpliera el propósito que luego cumplieron los logaritmos. En realidad, el proceso podría simplificarse enormemente usando solo una tabla de cosenos, pero seguiremos a Pitiscus, quien usó solo una tabla de senos y, por lo tanto, se vio obligado a calcular el complemento de un ángulo en el que simplemente buscaríamos el coseno. El principio es el mismo: convertir un producto en una o dos sumas y restas y de ahí el nombre próstata y eligresis, de prosth & aeligresis(adelantando, es decir, suma) y af y aeligresis (quitar, es decir, restar).

Como se acaba de señalar, la cantidad de trabajo involucrado en la multiplicación de dos números aumenta en proporción directa al producto del número de dígitos en los dos factores, mientras que el trabajo de sumar aumenta en proporción al número de dígitos en el número más pequeño. Por lo tanto, multiplicar dos números de 15 dígitos requiere más de 200 multiplicaciones de un dígito y otras 200 más o menos sumas de un dígito, mientras que sumar los dos números requiere solo 15 de tales operaciones (sin incluir el acarreo). Fue la gran cantidad de dígitos en las entradas de la tabla lo que causó el problema en primer lugar, pero la clave de la solución resultó estar en las propiedades estructurales de la función seno.

Hay indicios de este proceso en varias obras del siglo XVI, pero citaremos solo un ejemplo. En su Trigonometria, publicado por primera vez en Heidelberg en 1595, Pitiscus planteó el siguiente problema: Resolver la proporción en la que el primer término es el radio, mientras que el segundo y tercer término son senos, evitando multiplicaciones y divisiones. El problema aquí es encontrar el cuarto proporcional X, satisfactorio r : a = B : X, dónde r es el radio del círculo y ay B son dos senos (medias cuerdas) en el círculo. Podemos ver de inmediato que X = ab/r, pero como dice Pitiscus, la idea es evitar la multiplicación y la división, ya que en las tablas trigonométricas el tiempo a y B fácilmente podría tener siete u ocho dígitos cada uno.

La clave para Prótesis y eligresis es la fórmula conocida

Esta fórmula se aplica de la siguiente manera: si tienes que multiplicar dos números grandes, encuentra dos ángulos que tengan los números como sus senos. Reemplaza uno de los dos ángulos por su complemento. Luego, suma los ángulos y toma el seno de su suma para obtener el primer término, luego resta los ángulos y toma el seno de su diferencia para obtener un segundo término. Finalmente, divide la suma de estos dos últimos senos por 2 para obtener el producto. Para tomar un ejemplo muy simple, suponga que deseamos multiplicar 155 por 36. Una tabla de funciones trigonométricas muestra que sin (8 ° 55 ') = 0.15500 y sin (90 ° & menos 68 ° 54') = 0.36000. Por lo tanto, dado que movimos los puntos decimales un total de cinco lugares a la izquierda en los dos factores, obtenemos

En general, algunas cifras significativas se perderán en este tipo de multiplicación. Obviamente, no se ahorra mano de obra en este ejemplo simple, pero para grandes números, este procedimiento realmente facilita las cosas. De hecho, multiplicar incluso dos números de siete dígitos pondría a prueba la paciencia de la mayoría de las personas modernas, ya que requeriría alrededor de 100 multiplicaciones y sumas separadas. Otra ventaja es que Prótesis y eligresis es menos propenso a errores que la multiplicación. Sus ventajas fueron conocidas por el astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601), 9 quien lo utilizó en los cálculos astronómicos relacionados con las observaciones precisas que hizo en su observatorio durante la última parte del siglo XVI.

Este proceso podría simplificarse utilizando la fórmula de suma y resta para cosenos en lugar de senos. Esa frmula es

29.7 Álgebra: Pacioli y Chuquet

El siglo XIV, en el que Nicole d'Oresme hizo avances tan notables en geometría y casi creó geometría analítica, fue también una época de rápido avance en álgebra, personificada por Antonio de ’Mazzinghi (ca. 1353-1383). Su Trattato d'algebra (Tratado de álgebra) contiene algunos sistemas complicados de ecuaciones lineales y cuadráticas en hasta tres desconocidos (Franci, 1988). Fue uno de los primeros algebristas en mover el tema hacia lo numérico y lejos de la interpretación geométrica de los problemas.

29.7.1 Luca Pacioli

En el siglo XV, Luca Pacioli escribió Summa de arithmetica, geometrica, proporcionada y proporcionalita (Enciclopedia de aritmética, geometría, proporción y proporcionalidad), que estaba más cerca del trabajo elemental de al-Khwarizmi y más geométrico en su enfoque del álgebra que el trabajo de Mazzinghi. En realidad (Parshall, 1988) la obra era en gran parte una recopilación de las obras de Leonardo de Pisa, pero acercó el arte de la abreviatura a la verdadera notación simbólica. Por ejemplo, lo que ahora escribimos como fue escrito por Pacioli como

Aquí co medio cosa (cosa), el desconocido. Es una traducción de la palabra árabe utilizada por al-Khwarizmi. La abreviatura ce medio censurar (poder), y RV es probablemente una versión impresa de Rx, del latín base, sentido raíz. 10 El trabajo de Pacioli fue tanto una indicación de cuán extendido se había vuelto el conocimiento del álgebra en ese momento como un elemento importante en la propagación de ese conocimiento aún más ampliamente. Los algebristas italianos del siglo XVI que se trasladaron a la vanguardia del tema y lo hicieron avanzar mucho más allá de donde había estado hasta ese momento, todos habían leído detenidamente el tratado de Pacioli.

29.7.2 Chuquet

Según Flegg (1988), en cuyo trabajo se basa la siguiente exposición, hubo varias cosas nuevas en el Tripartito. Una es una notación en superíndice similar a la notación moderna para las potencias de lo desconocido en una ecuación. Lo desconocido en sí mismo se llama primer ministro o "primero", es decir, el poder 1 de lo desconocido. En este trabajo, el álgebra se llama rigle des premiers "Regla de los primeros". Chuquet enumeró las primeras 20 potencias de 2 y señaló que cuando se multiplican dos de esos números, se suman sus índices. Por tanto, tenía una idea clara de las leyes de los exponentes enteros. Una segunda innovación en el Tripartito es el uso gratuito de números negativos como coeficientes, soluciones y exponentes. Otra innovación más es el uso de algunas abreviaturas simbólicas. Por ejemplo, la raíz cuadrada se denota R 2 (R para el latino base, o tal vez el francés racine). La ecuación que escribiríamos como 3X 2 + 12 = 9X fue escrito . Chuquet dijo que esta ecuación era imposible, ya que su solución implicaría sacar la raíz cuadrada de & menos63.

Sus instrucciones se dan en palabras. Por ejemplo (Struik, 1986, p. 62), considere la ecuación

Chuquet dice restar de ambos lados, de modo que la ecuación se convierte en

Luego dice que cuadre, obteniendo

Restando (es decir, 4X 2) de ambos lados y agregando a ambos lados luego cede

El enfoque de Chuquet del álgebra y su aplicación se puede extraer de uno de los problemas ilustrativos de la segunda parte (problema 35). Este problema habla de un comerciante que compra 15 piezas de tela, gastando un total de 160 ecus. Algunas de las piezas cuestan 11 ecus cada una y las otras 13 ecus. ¿Cuántos se compraron a cada precio?

Si X es el número comprado a 11 ecus cada uno, este problema lleva a la ecuación 11X + 13 (15 y menos X) = 160. Dado que la solución es , esto significa que el comerciante compró piezas a 13 ecus. ¿Cómo se puede empezar a comprar un número negativo de piezas de tela? Chuquet dijo que estos las piezas fueron compradas a crédito!

Problemas y preguntas

Problemas matemáticos

29.1 Realice la descripción de Leonardo de la forma de encontrar dos números cuya suma de cuadrados es un cuadrado que es la suma de otros dos cuadrados dados en el caso particular cuando los números dados son. a . = 5 y. B . = 12 (la suma de cuyos cuadrados es 169 = 13 2). Llevar. Delaware . = 8 y. ez . = 15. Dibuja el triángulo rectángulo descrito por Leonardo, y también realiza el cálculo numérico que produce el nuevo par para el que la suma de los cuadrados vuelve a ser 169.

29.2 Use la ley de los cosenos de Pitiscus para encontrar el tercer lado de un triángulo que tenga lados de 6 cm y 8 cm de longitud y tal que la altura al lado de 8 cm de longitud lo divida en longitudes de 5 cm y 3 cm. (Hay dos triángulos posibles, según la orientación).

29.3 Usar próstata y eligresis para encontrar el producto 829.038 y tiempos 66.9131. (Primero escribe este producto como 10 5 y por 0,829038 y por 0,669131. Encuentra los ángulos que tienen los dos últimos números como cosenos y usa la fórmula de suma y resta para los cosenos dada anteriormente).

Preguntas históricas

29.4 ¿Qué partes del trabajo algebraico de Leonardo de Pisa fueron compilaciones de trabajos de fuentes anteriores y qué partes fueron avances en ese trabajo anterior?

29.5 ¿De qué manera el trabajo geométrico de Nicole de Oresme prefigura la geometría analítica moderna?

29.6 ¿Cómo cambiaron Regiomontanus y Pitiscus la forma en que los matemáticos pensaban sobre la trigonometría? ¿Cómo siguió difiriendo su trigonometría de la que usamos hoy?

Preguntas para reflexionar

29.7 ¿Había algún valor científico en hacer uso de la verdadero (irracional, infinitamente preciso) número y Phi, como hicieron los hermanos Bravais, aunque ninguna planta real crece exactamente de acuerdo con la regla que establecieron? ¿Por qué no habría funcionado tan bien una aproximación racional?

29.8 ¿Cómo limitó la noción de dimensión geométrica (longitud, área, volumen) el uso de métodos numéricos en geometría? ¿Cómo ayudó la amplitud de formas de Oresme a superar esta limitación?

29.9 ¿Tiene sentido interpretar la compra de un número negativo de artículos como una cantidad comprada a crédito? ¿Sería mejor interpretar tal "compra" como mercancía devuelta?

1. Devlin (2011), quien ha examinado los manuscritos antiguos de este trabajo, dice que está escrito correctamente Liber abbaci. La ortografía que estamos usando simplemente conserva un uso tradicional de larga data.

2. Véase el artículo de I. Adler, D. Barabe y R. V. Jean, "A history of the study of phyllotaxis", Anales de botánica, 80 (1997), págs. 231–244, especialmente pág. 234. Los artículos de Auguste y Louis Bravais son "Essai sur la disposition g & eacuten & eacuterale des feuilles curvis & eacuteri & eacutees", Annales des sciences naturelles, 7 (1837), págs. 42-110, y "Essai sur la disposition g & eacuten & eacuterale des feuilles rectis & eacuteri & eacutees", Congr & egraves scientifique de France, 6 (1839), págs. 278-330.

3. Leonardo dio una discusión general sobre problemas de este tipo, preguntando cuándo metro 2 + kn 2 y metro2 + 2kn 2 pueden ser ambos cuadrados.

4. Aparentemente, esta palabra significa algo como glorioso y el título completo podría traducirse como La gloria del álgebra.

5. La palabra flos medio florecer y se puede usar en el sentido figurado de "la flor de la juventud". Ese parece ser su significado aquí.

6. Esta traducción es mía y pretende ser literal. Hughes ofrece una traducción más suave e idiomática en la p. 168.

7. También conocido como Richard Swyneshed y como Swineshead con una gran variedad de nombres. No se sabe con certeza si las obras adscritas a este nombre se deben todas a la misma persona.

8. Esta ley dice que los senos de los lados de los triángulos esféricos son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. (Ambos lados y ángulos en un triángulo esférico se miden en grados de círculo máximo).

9. La fórmula para el producto de dos senos fue descubierta en 1510 por Johann Werner (1468-1522). Esta fórmula y la fórmula similar para los cosenos se publicaron por primera vez en 1588 en un pequeño libro titulado Fundamentum astronomicum escrito por Nicolai Reymers Baer (fechas inciertas), conocido como Ursus, que es la traducción latina de Baer. Sin embargo, Brahe ya había notado su aplicación en trigonometría esférica y los había estado usando durante la década de 1580. Incluso se atribuyó el mérito de haber desarrollado la técnica él mismo. El origen de la técnica de Prótesis y eligresis es complicado e incierto. Thoren (1988) dio una discusión al respecto.

10. El símbolo Rx no debe confundirse con el mismo símbolo en farmacia, que proviene del latín receta, sentido llevar.


Contenido

La secuencia de Fibonacci aparece en las matemáticas indias en conexión con la prosodia sánscrita, como señaló Parmanand Singh en 1986. [8] [10] [11] En la tradición poética sánscrita, había interés en enumerar todos los patrones de sílabas largas (L) de 2 unidades de duración, yuxtapuestos con sílabas cortas (S) de 1 unidad de duración. Contar los diferentes patrones de L y S sucesivos con una duración total dada da como resultado los números de Fibonacci: el número de patrones de duración metro unidades es Fmetro + 1 . [9]

Variaciones de dos metros anteriores [es la variación]. Por ejemplo, para [un metro de longitud] cuatro, se mezclan variaciones de metros de dos [y] tres, suceden cinco. [resuelve los ejemplos 8, 13, 21]. De esta forma, el proceso debe seguirse en todos mātrā-vṛttas [combinaciones prosódicas]. [a]

A Hemachandra (c. 1150) también se le atribuye el conocimiento de la secuencia, [7] escribiendo que "la suma del último y el anterior al último es el número del siguiente mātrā-vṛtta". [15] [16]

Fuera de la India, la secuencia de Fibonacci aparece por primera vez en el libro. Liber Abaci (El libro del cálculo, 1202) de Fibonacci [6] [17] donde se utiliza para calcular el crecimiento de las poblaciones de conejos. [18] [19] Fibonacci considera el crecimiento de una población de conejos idealizada (biológicamente irreal), asumiendo que: una pareja de conejos reproductores recién nacidos se coloca en un campo, cada pareja reproductora se aparea a la edad de un mes, y al final de su segundo mes siempre producen otro par de conejos y los conejos nunca mueren, pero continúan reproduciéndose para siempre. Fibonacci planteó el rompecabezas: ¿cuántos pares habrá en un año?

  • Al final del primer mes, se aparean, pero solo queda 1 pareja.
  • Al final del segundo mes, producen un nuevo par, por lo que hay 2 pares en el campo.
  • Al final del tercer mes, la pareja original produce una segunda pareja, pero la segunda pareja solo se aparean sin reproducirse, por lo que hay 3 parejas en total.
  • Al final del cuarto mes, el par original ha producido otro par nuevo, y el par nacido hace dos meses también produce su primer par, formando 5 pares.

Al final de norte mes, el número de pares de conejos es igual al número de pares maduros (es decir, el número de pares en el mes norte - 2) más el número de pares vivos el mes pasado (mes norte - 1). El número en el norte el mes es el norte el número de Fibonacci. [20]

El nombre "secuencia de Fibonacci" fue utilizado por primera vez por el teórico de números del siglo XIX Édouard Lucas. [21]

Los primeros 21 números de Fibonacci Fnorte son: [2]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

La secuencia también se puede extender a índice negativo norte usando la relación de recurrencia reordenada

que produce la secuencia de números "negafibonacci" [22] que satisfacen

Por tanto, la secuencia bidireccional es

F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

Expresión de forma cerrada Editar

Como toda secuencia definida por una recurrencia lineal con coeficientes constantes, los números de Fibonacci tienen una expresión de forma cerrada. Se ha hecho conocido como Fórmula de Binet, llamado así por el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet, aunque ya lo conocían Abraham de Moivre y Daniel Bernoulli: [23]

De ello se deduce que para cualquier valor a y B , la secuencia definida por

Si a y B son elegidos para que U0 = 0 y U1 = 1 entonces la secuencia resultante Unorte debe ser la secuencia de Fibonacci. Esto es lo mismo que requerir a y B satisfacer el sistema de ecuaciones:

Tomando los valores iniciales U0 y U1 para ser constantes arbitrarias, una solución más general es:

Cálculo por redondeo Editar

para todos norte ≥ 0, el número Fnorte es el número entero más cercano a φ n 5 < displaystyle < frac < varphi ^> < sqrt <5> >>>. Por lo tanto, se puede encontrar redondeando, usando la función entera más cercana:

De hecho, el error de redondeo es muy pequeño, inferior a 0,1 para norte ≥ 4 y menos de 0,01 para norte ≥ 8 .

Los números de Fibonacci también se pueden calcular mediante truncamiento, en términos de la función de piso:

Como la función de piso es monótona, la última fórmula se puede invertir para encontrar el índice norte(F) del número de Fibonacci más grande que no sea mayor que un número real F & gt 1:

Límite de cocientes consecutivos Editar

Johannes Kepler observó que la proporción de números de Fibonacci consecutivos converge. Escribió que "como 5 es a 8, también es 8 a 13, prácticamente, y como 8 es a 13, entonces es 13 a 21 casi", y concluyó que estas proporciones se acercan a la proporción áurea φ: < displaystyle varphi colon > [26] [27]

Esta convergencia se mantiene independientemente de los valores iniciales, excluyendo 0 y 0, o cualquier par en la proporción áurea conjugada, - 1 / φ. < displaystyle -1 / varphi.> [ aclaración necesaria ] Esto se puede verificar usando la fórmula de Binet. Por ejemplo, los valores iniciales 3 y 2 generan la secuencia 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555,. La proporción de términos consecutivos en esta secuencia muestra la misma convergencia hacia la proporción áurea.

Descomposición de poderes Editar

Dado que la proporción áurea satisface la ecuación

Esta expresión también es válida para norte & lt 1 si la secuencia de Fibonacci Fnorte se extiende a números enteros negativos usando la regla de Fibonacci F n = F n - 1 + F n - 2. < Displaystyle F_= F_+ F_.>

Un sistema bidimensional de ecuaciones en diferencias lineales que describe la secuencia de Fibonacci es

De manera equivalente, el mismo cálculo puede realizarse mediante diagonalización de A mediante el uso de su propia descomposición:

La matriz A tiene un determinante de -1 y, por lo tanto, es una matriz unimodular de 2 × 2.

Esta propiedad se puede entender en términos de la representación de fracción continua para la proporción áurea:

Los números de Fibonacci ocurren como la razón de convergentes sucesivos de la fracción continua para φ, y la matriz formada a partir de convergentes sucesivos de cualquier fracción continua tiene un determinante de +1 o -1. La representación matricial da la siguiente expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci:

Tomando el determinante de ambos lados de esta ecuación se obtiene la identidad de Cassini,

Además, dado que A norte A metro = A norte+metro para cualquier matriz cuadrada A , se pueden derivar las siguientes identidades (se obtienen a partir de dos coeficientes diferentes del producto de la matriz, y se puede deducir fácilmente el segundo del primero cambiando norte dentro norte + 1 ),

En particular, con metro = norte ,

Estas dos últimas identidades proporcionan una forma de calcular los números de Fibonacci de forma recursiva en O(Iniciar sesión(norte)) operaciones aritméticas y en el tiempo O(METRO(norte) Iniciar sesión(norte)) , dónde METRO(norte) es el momento de la multiplicación de dos números de norte dígitos. Esto coincide con el tiempo para calcular el norte el número de Fibonacci de la fórmula matricial de forma cerrada, pero con menos pasos redundantes si se evita volver a calcular un número de Fibonacci ya calculado (recursividad con memorización). [28]

Puede surgir la pregunta de si un entero positivo X es un número de Fibonacci. Esto es cierto si y solo si al menos uno de 5 x 2 + 4 < displaystyle 5x ^ <2> +4> o 5 x 2-4 < displaystyle 5x ^ <2> -4> es un cuadrado perfecto. [29] Esto se debe a que la fórmula de Binet anterior se puede reorganizar para dar

lo que le permite a uno encontrar la posición en la secuencia de un número de Fibonacci dado.

Esta fórmula debe devolver un número entero para todos norte, por lo que la expresión radical debe ser un número entero (de lo contrario, el logaritmo ni siquiera devuelve un número racional).

La mayoría de las identidades que involucran números de Fibonacci se pueden probar usando argumentos combinatorios usando el hecho de que Fnorte se puede interpretar como el número de secuencias de 1 y 2 que suman norte - 1. Esto puede tomarse como la definición de Fnorte, con la convención de que F0 = 0, lo que significa que ninguna suma suma -1, y que F1 = 1, lo que significa que la suma vacía "suma" 0. Aquí, el orden del sumando importa. Por ejemplo, 1 + 2 y 2 + 1 se consideran dos sumas diferentes.

Por ejemplo, la relación de recurrencia

o en palabras, el norteEl número de Fibonacci es la suma de los dos números de Fibonacci anteriores, se puede mostrar dividiendo el Fnorte sumas de 1 y 2 que se suman a norte - 1 en dos grupos no superpuestos. Un grupo contiene aquellas sumas cuyo primer término es 1 y el otro aquellas sumas cuyo primer término es 2. En el primer grupo, los términos restantes se suman a norte - 2, entonces tiene Fnorte-1 sumas, y en el segundo grupo los términos restantes se suman a norte - 3, entonces hay Fnorte−2 sumas. Entonces hay un total de Fnorte−1 + Fnorte−2 sumas en total, mostrando que esto es igual a Fnorte.

De manera similar, se puede demostrar que la suma de los primeros números de Fibonacci hasta el norteth es igual al (norte + 2) -nd número de Fibonacci menos 1. [30] En símbolos:

Esto se hace dividiendo las sumas sumando a norte + 1 de forma diferente, esta vez por la ubicación del primer 2. En concreto, el primer grupo está formado por aquellas sumas que empiezan con 2, el segundo grupo las que empiezan con 1 + 2, el tercero 1 + 1 + 2, y así sucesivamente, hasta el último grupo, que consiste en la suma única donde solo se usan unos. El número de sumas en el primer grupo es F(norte), F(norte - 1) en el segundo grupo, y así sucesivamente, con 1 suma en el último grupo. Entonces el número total de sumas es F(norte) + F(norte − 1) + . + F(1) + 1 y por lo tanto esta cantidad es igual a F(norte + 2).

Un argumento similar, que agrupa las sumas por la posición del primer 1 en lugar de los primeros 2, da dos identidades más:

Se puede usar un truco diferente para probar

Método simbólico Editar

Se pueden derivar muchas otras identidades utilizando varios métodos. Algunos de los más destacados son: [33]

Identidades de Cassini y Catalán Editar

La identidad de Cassini establece que

La identidad de d'Ocagne Editar

Poniendo k = 2 en esta fórmula, se obtienen nuevamente las fórmulas del final de la sección anterior Forma de matriz.

La función generadora de la secuencia de Fibonacci es la serie de potencias

Esto se puede demostrar usando la recurrencia de Fibonacci para expandir cada coeficiente en la suma infinita:

por s(X) da como resultado la forma cerrada anterior.

Configuración X = 1/k , la forma cerrada de la serie se convierte en

En particular, si k es un número entero mayor que 1, entonces esta serie converge. Configuración adicional k = 10 metro rendimientos

Algunos libros de acertijos matemáticos presentan como curioso el valor particular que proviene de metro = 1, que es s (1/10) 10 = 1 89 = .011235… < displaystyle < frac <10>> = < frac <1> <89>> =. 011235 ldots> [35] Del mismo modo, metro = 2 da

Las sumas infinitas sobre números de Fibonacci recíprocos a veces se pueden evaluar en términos de funciones theta. Por ejemplo, podemos escribir la suma de cada número de Fibonacci recíproco de índice impar como

y la suma de los números de Fibonacci recíprocos al cuadrado como

Si sumamos 1 a cada número de Fibonacci en la primera suma, también existe la forma cerrada

y hay un anidado suma de números de Fibonacci al cuadrado que dan el recíproco de la proporción áurea,

es conocido, pero Richard André-Jeannin ha demostrado que el número es irracional. [36]

los Serie Millin da la identidad [37]

Propiedades de divisibilidad Editar

Cada tercer número de la secuencia es par y, de manera más general, cada kEl número de la secuencia es un múltiplo de Fk. Por tanto, la secuencia de Fibonacci es un ejemplo de secuencia de divisibilidad. De hecho, la secuencia de Fibonacci satisface la propiedad de divisibilidad más fuerte [38] [39]

Cualesquiera tres números de Fibonacci consecutivos son coprimos por pares, lo que significa que, para cada norte,

gcdFnorte, Fnorte+1) = mcd (Fnorte, Fnorte+2) = mcd (Fnorte+1, Fnorte+2) = 1.

Cada número primo pag divide un número de Fibonacci que puede ser determinado por el valor de pag módulo 5. Si pag es congruente con 1 o 4 (mod 5), entonces pag divide Fpag − 1, y si pag es congruente con 2 o 3 (mod 5), entonces, pag divide Fpag + 1. El caso restante es que pag = 5, y en este caso pag divide Fpag.

Estos casos se pueden combinar en una fórmula única, no por partes, utilizando el símbolo de Legendre: [40]

Prueba de primalidad Editar

La fórmula anterior se puede utilizar como prueba de primalidad en el sentido de que si

Primos de Fibonacci Editar

A Fibonacci prima es un número de Fibonacci que es primo. Los primeros son:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229,. OEIS: A005478.

Se han encontrado números primos de Fibonacci con miles de dígitos, pero no se sabe si son infinitos. [42]

Fkn es divisible por Fnorte, entonces, aparte de F4 = 3, cualquier prima de Fibonacci debe tener un índice de prima. Como hay series arbitrariamente largas de números compuestos, también hay series arbitrariamente largas de números compuestos de Fibonacci.

Ningún número de Fibonacci mayor que F6 = 8 es uno mayor o uno menor que un número primo. [43]

El único número de Fibonacci cuadrado no trivial es 144. [44] Attila Pethő demostró en 2001 que sólo hay un número finito de números de Fibonacci de potencia perfecta. [45] En 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte y S. Siksek demostraron que 8 y 144 son los únicos poderes perfectos no triviales. [46]

1, 3, 21, 55 son los únicos números triangulares de Fibonacci, que fue conjeturado por Vern Hoggatt y probado por Luo Ming. [47]

Ningún número de Fibonacci puede ser un número perfecto. [48] ​​De manera más general, ningún número de Fibonacci que no sea 1 puede ser perfecto al multiplicar, [49] y ninguna proporción de dos números de Fibonacci puede ser perfecta. [50]

Divisores principales Editar

Con las excepciones de 1, 8 y 144 (F1 = F2, F6 y F12) cada número de Fibonacci tiene un factor primo que no es un factor de ningún número de Fibonacci más pequeño (teorema de Carmichael). [51] Como resultado, 8 y 144 (F6 y F12) son los únicos números de Fibonacci que son el producto de otros números de Fibonacci OEIS: A235383.

La divisibilidad de los números de Fibonacci por un primo pag está relacionado con el símbolo de Legendre (p 5) < displaystyle left (< tfrac

<5>> right)> que se evalúa de la siguiente manera:

Si pag es un número primo entonces

No se sabe si existe un primo pag tal que

Dichos números primos (si los hay) se llamarían primos Muro-Sol-Sol.

También si pag ≠ 5 es un número primo impar, entonces: [54]

Ejemplo 1. pag = 7, en este caso pag ≡ 3 (mod 4) y tenemos:

Ejemplo 2. pag = 11, en este caso pag ≡ 3 (mod 4) y tenemos:

Ejemplo 3. pag = 13, en este caso pag ≡ 1 (mod 4) y tenemos:

Ejemplo 4. pag = 29, en este caso pag ≡ 1 (mod 4) y tenemos:

Por extraño norte, todos los divisores primos impares de Fnorte son congruentes con 1 módulo 4, lo que implica que todos los divisores impares de Fnorte (como los productos de divisores primos impares) son congruentes con 1 módulo 4. [55]

Todos los factores conocidos de los números de Fibonacci F(I) para todos I & lt 50000 se recopilan en los repositorios correspondientes. [56] [57]

Módulo de periodicidad norte Editar

Si los miembros de la secuencia de Fibonacci se toman mod norte, la secuencia resultante es periódica con un período como máximo 6n. [58] La duración de los períodos para varios norte forman los denominados periodos pisanos OEIS: A001175. La determinación de una fórmula general para los períodos pisano es un problema abierto, que incluye como subproblema una instancia especial del problema de encontrar el orden multiplicativo de un entero modular o de un elemento en un campo finito. Sin embargo, para cualquier particular norte, el período Pisano se puede encontrar como una instancia de detección de ciclos.

Más generalmente, en la base B representación, el número de dígitos en Fnorte es asintótica an log b ⁡ φ. < Displaystyle n log _ varphi.>

La secuencia de Fibonacci es una de las secuencias conocidas más simples y tempranas definidas por una relación de recurrencia, y específicamente por una ecuación de diferencia lineal. Todas estas secuencias pueden verse como generalizaciones de la secuencia de Fibonacci. En particular, la fórmula de Binet se puede generalizar a cualquier secuencia que sea una solución de una ecuación en diferencia lineal homogénea con coeficientes constantes.

Algunos ejemplos específicos que están cerca, en cierto sentido, de la secuencia de Fibonacci incluyen:

  • Generalizar el índice a números enteros negativos para producir los números de negafibonacci.
  • Generalización del índice a números reales mediante una modificación de la fórmula de Binet. [33]
  • Comenzando con otros enteros. Los números de Lucas tienen L1 = 1, L2 = 3, y Lnorte = Lnorte−1 + Lnorte−2. Las secuencias Primefree utilizan la recursividad de Fibonacci con otros puntos de partida para generar secuencias en las que todos los números son compuestos.
  • Dejar que un número sea una función lineal (distinta de la suma) de los 2 números anteriores. Los números de Pell tienen PAGnorte = 2PAGnorte − 1 + PAGnorte − 2. Si al coeficiente del valor anterior se le asigna un valor variable X, el resultado es la secuencia de polinomios de Fibonacci.
  • No sumar los números inmediatamente anteriores. La secuencia de Padovan y los números de Perrin tienen PAG(norte) = PAG(norte − 2) + PAG(norte − 3).
  • Generar el siguiente número sumando 3 números (números tribonacci), 4 números (números tetranacci) o más. Las secuencias resultantes se conocen como Números de Fibonacci de n-Step. [59]

Los números de Fibonacci ocurren en las sumas de diagonales "superficiales" en el triángulo de Pascal (ver coeficiente binomial): [60]

Matemáticas Editar

Estos números también dan la solución a ciertos problemas enumerativos, [61] el más común de los cuales es el de contar el número de formas de escribir un número dado. norte como una suma ordenada de 1 y 2 (llamadas composiciones) hay Fnorte+1 formas de hacer esto. Por ejemplo, hay F5+1 = F6 = 8 formas en las que se puede subir una escalera de 5 escalones, dando uno o dos escalones a la vez:

5 = 1+1+1+1+1 = 2+1+1+1 = 1+2+1+1 = 1+1+2+1 = 2+2+1
= 1+1+1+2 = 2+1+2 = 1+2+2

La figura muestra que 8 se puede descomponer en 5 (el número de formas de subir 4 escalones, seguido de un solo paso) más 3 (el número de formas de subir 3 escalones, seguido de un paso doble). El mismo razonamiento se aplica de forma recursiva hasta un único escalón, del que solo hay un camino para subir.

Los números de Fibonacci se pueden encontrar de diferentes formas entre el conjunto de cadenas binarias, o de manera equivalente, entre los subconjuntos de un conjunto dado.

  • El número de cadenas binarias de longitud norte sin 1 s consecutivos es el número de Fibonacci Fnorte+2 . Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay F6 = 8 sin 1 s consecutivos: son 0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001 y 1010. De manera equivalente, Fnorte+2 es el número de subconjuntos S de <1,. norte> sin enteros consecutivos, es decir, aquellos S para el cual <I, I + 1> ⊈ S para cada I .
  • El número de cadenas binarias de longitud norte sin un número impar de 1 s consecutivos es el número de Fibonacci Fn + 1 . Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay F5 = 5 sin un número impar de 1 s consecutivos - son 0000, 0011, 0110, 1100, 1111. De manera equivalente, el número de subconjuntos S de <1,. norte> sin un número impar de enteros consecutivos es Fnorte+1 .
  • El número de cadenas binarias de longitud norte sin un número par de 0 s o 1 s consecutivos es 2Fnorte . Por ejemplo, de las 16 cadenas binarias de longitud 4, hay 2F4 = 6 sin un número par de 0 s o 1 s consecutivos - son 0001, 0111, 0101, 1000, 1010, 1110. Hay una declaración equivalente sobre subconjuntos. pudo demostrar que los números de Fibonacci se pueden definir mediante una ecuación diofántica, lo que lo llevó a resolver el décimo problema de Hilbert. [62]
  • Los números de Fibonacci también son un ejemplo de una secuencia completa. Esto significa que cada entero positivo se puede escribir como una suma de números de Fibonacci, donde cualquier número se usa una vez como máximo.
  • Además, cada entero positivo se puede escribir de una manera única como la suma de uno o mas distintos números de Fibonacci de tal manera que la suma no incluya dos números de Fibonacci consecutivos. Esto se conoce como teorema de Zeckendorf, y una suma de números de Fibonacci que satisface estas condiciones se llama representación de Zeckendorf. La representación de Zeckendorf de un número se puede utilizar para derivar su codificación de Fibonacci.
  • Comenzando con 5, cada segundo número de Fibonacci es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados enteros, o en otras palabras, el número más grande en un triple pitagórico, obtenido de la fórmula

Ciencias de la computación Editar

  • Los números de Fibonacci son importantes en el análisis computacional en tiempo de ejecución del algoritmo de Euclid para determinar el máximo común divisor de dos enteros: la entrada del peor caso para este algoritmo es un par de números de Fibonacci consecutivos. [sesenta y cinco]
  • Los números de Fibonacci se utilizan en una versión polifásica del algoritmo de clasificación por fusión en el que una lista sin clasificar se divide en dos listas cuyas longitudes corresponden a números de Fibonacci secuenciales, dividiendo la lista de modo que las dos partes tengan longitudes en la proporción aproximada. φ. Una implementación de unidad de cinta del tipo de fusión polifásica se describió en El arte de la programación informática.
  • Un árbol de Fibonacci es un árbol binario cuyos árboles hijos (recursivamente) difieren en altura exactamente 1. Por lo tanto, es un árbol AVL, y uno con la menor cantidad de nodos para una altura determinada: el árbol AVL "más delgado". Estos árboles tienen un número de vértices que es un número de Fibonacci menos uno, un hecho importante en el análisis de árboles AVL. [66]
  • Los números de Fibonacci son utilizados por algunos generadores de números pseudoaleatorios.
  • Los números de Fibonacci surgen en el análisis de la estructura de datos del montón de Fibonacci.
  • Un método de optimización unidimensional, llamado técnica de búsqueda de Fibonacci, utiliza números de Fibonacci. [67]
  • La serie de números de Fibonacci se utiliza para la compresión con pérdida opcional en el formato de archivo de audio IFF8SVX utilizado en las computadoras Amiga. La serie numérica compara la onda de audio original de forma similar a los métodos logarítmicos como la ley μ. [68] [69]
  • También se utilizan en la planificación del póquer, que es un paso en la estimación de proyectos de desarrollo de software que utilizan la metodología Scrum.

Naturaleza Editar

Las secuencias de Fibonacci aparecen en entornos biológicos, [70] como la ramificación de los árboles, la disposición de las hojas en un tallo, los frutos de una piña, [71] la floración de una alcachofa, un helecho que se desenrosca y la disposición de una piña, [72 ] y el árbol genealógico de las abejas. [73] [74] Kepler señaló la presencia de la secuencia de Fibonacci en la naturaleza, usándola para explicar la forma pentagonal (relacionada con la proporción áurea) de algunas flores. [75] Las margaritas de campo suelen tener pétalos en la cuenta de números de Fibonacci. [76] En 1754, Charles Bonnet descubrió que la filotaxis en espiral de las plantas se expresaba con frecuencia en series de números de Fibonacci. [77]

Przemysław Prusinkiewicz adelantó la idea de que las instancias reales pueden entenderse en parte como la expresión de ciertas restricciones algebraicas en grupos libres, específicamente como ciertas gramáticas de Lindenmayer. [78]

Helmut Vogel [de] en 1979 propuso un modelo para el patrón de floretes en la cabeza de un girasol. [79] Este tiene la forma

dónde norte es el número de índice de la flor y C es un factor de escala constante, por lo que las flores se encuentran en la espiral de Fermat. El ángulo de divergencia, aproximadamente 137,51 °, es el ángulo áureo, que divide el círculo en la proporción áurea. Debido a que esta proporción es irracional, ningún florete tiene un vecino exactamente en el mismo ángulo desde el centro, por lo que los floretes se compactan de manera eficiente. Debido a que las aproximaciones racionales a la proporción áurea son de la forma F(j):F(j + 1), los vecinos más cercanos del número de floret norte son los que están en norte ± F(j) para algún índice j , que depende de r , la distancia desde el centro. Los girasoles y flores similares suelen tener espirales de floretes en sentido horario y antihorario en la cantidad de números de Fibonacci adyacentes, [80] típicamente contados por el rango más externo de radios. [81]

Los números de Fibonacci también aparecen en los pedigríes de las abejas idealizadas, de acuerdo con las siguientes reglas:

  • Si un huevo es puesto por una hembra sin aparear, eclosiona un macho o una abeja zángano.
  • Sin embargo, si un óvulo fue fertilizado por un macho, eclosiona una hembra.

Por lo tanto, una abeja macho siempre tiene un padre y una abeja hembra tiene dos. Si uno rastrea el pedigrí de cualquier abeja macho (1 abeja), tiene 1 padre (1 abeja), 2 abuelos, 3 bisabuelos, 5 tatarabuelos, etc. Esta secuencia de números de padres es la secuencia de Fibonacci. El número de antepasados ​​en cada nivel, Fnorte , es el número de ancestros femeninos, que es Fnorte−1 , más el número de antepasados ​​masculinos, que es Fnorte−2 . [82] Esto es bajo la suposición poco realista de que los antepasados ​​en cada nivel no están relacionados de otra manera.

Las vías de las tubulinas en los microtúbulos intracelulares se organizan en patrones de 3, 5, 8 y 13. [84]


Zusammenfassung

En Aufzeichnungen, die Newton lieber nicht der Veröffentlichung preisgegeben hätte, beschreibt er den Prozess für die Lösung von simultanen Gleichungen, den spätere Autoren speziell für lineare Gleichungen anwandten. Diese Methode - welche Euler nicht empfahl, welche Legendre “ordinaire” nannte, und welche Gauß “gewöhnlich” nannte - wird nun nach Gauß benannt: Gaußsches Eliminationsverfahren. Die Verbindung des Gaußschen Namens mit Elimination wurde dadurch hervorgebracht, dass professionelle Rechner eine Notation übernahmen, die Gauß speziell für seine eigenen Berechnungen der kleinsten Quadrate ersonnen hatte, welche zuließ, dasmet Elimination als archenoederisdetärtis wurden und schließlich durch Matrizen beschrieben wurden.


Contenido

Orígenes pitagóricos Editar

La ecuación pitagórica, X 2 + y 2 = z 2, tiene un número infinito de soluciones enteras positivas para X, y, y z estas soluciones se conocen como triples pitagóricas (con el ejemplo más simple 3, 4, 5). Alrededor de 1637, Fermat escribió en el margen de un libro que la ecuación más general a norte + B norte = C norte no tenía soluciones en números enteros positivos si norte es un número entero mayor que 2. Aunque afirmó tener una prueba general de su conjetura, Fermat no dejó detalles de su prueba y nunca se ha encontrado ninguna prueba suya. Su reclamo fue descubierto unos 30 años después, después de su muerte. Esta afirmación, que llegó a conocerse como Último teorema de Fermat, permaneció sin resolver durante los siguientes tres siglos y medio. [4]

La afirmación se convirtió finalmente en uno de los problemas matemáticos sin resolver más notables. Los intentos de demostrarlo provocaron un desarrollo sustancial en la teoría de números y, con el tiempo, el último teorema de Fermat ganó prominencia como un problema no resuelto en matemáticas.

Desarrollos posteriores y solución Editar

El caso especial norte = 4, probado por el propio Fermat, es suficiente para establecer que si el teorema es falso para algún exponente norte que no es un número primo, también debe ser falso para algunos norte, por lo que solo los valores primos de norte necesita más investigación. [nota 1] Durante los dos siglos siguientes (1637-1839), la conjetura se demostró solo para los números primos 3, 5 y 7, aunque Sophie Germain innovó y demostró un enfoque que era relevante para toda una clase de números primos. A mediados del siglo XIX, Ernst Kummer amplió esto y demostró el teorema para todos los números primos regulares, dejando que los primos irregulares se analicen individualmente. Basándose en el trabajo de Kummer y utilizando sofisticados estudios informáticos, otros matemáticos pudieron extender la prueba para cubrir todos los exponentes primos hasta cuatro millones, pero una prueba para todos los exponentes era inaccesible (lo que significa que los matemáticos generalmente consideraban una prueba imposible, extremadamente difícil o inalcanzable con los conocimientos actuales). [5]

Por separado, alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama sospecharon que podría existir un vínculo entre las curvas elípticas y las formas modulares, dos áreas de las matemáticas completamente diferentes. Conocida en ese momento como la conjetura de Taniyama-Shimura (eventualmente como el teorema de modularidad), se mantuvo por sí sola, sin conexión aparente con el último teorema de Fermat. Fue ampliamente visto como significativo e importante por derecho propio, pero fue (como el teorema de Fermat) ampliamente considerado completamente inaccesible a la demostración. [6]

En 1984, Gerhard Frey notó un vínculo aparente entre estos dos problemas no relacionados y sin resolver anteriormente. Frey dio un esquema que sugiere que esto podría probarse. La prueba completa de que los dos problemas estaban estrechamente relacionados la logró Ken Ribet en 1986, basándose en una prueba parcial de Jean-Pierre Serre, quien probó todos menos una parte conocida como la "conjetura épsilon" (ver: Teorema de Ribet y Curva de Frey). [2] Estos artículos de Frey, Serre y Ribet mostraron que si la conjetura de Taniyama-Shimura pudiera probarse para al menos la clase semi-estable de curvas elípticas, también se seguiría automáticamente una prueba del último teorema de Fermat. La conexión se describe a continuación: cualquier solución que pudiera contradecir el último teorema de Fermat también podría usarse para contradecir la conjetura de Taniyama-Shimura. Entonces, si se determinara que el teorema de modularidad es cierto, entonces, por definición, no podría existir ninguna solución que contradiga el último teorema de Fermat, que por lo tanto también tendría que ser cierto.

Aunque ambos problemas eran abrumadores y ampliamente considerados "completamente inaccesibles" a la prueba en ese momento, [2] esta fue la primera sugerencia de una ruta por la cual el último teorema de Fermat podría extenderse y probarse para todos los números, no solo algunos números. A diferencia del último teorema de Fermat, la conjetura de Taniyama-Shimura fue un área de investigación activa importante y se consideró más al alcance de las matemáticas contemporáneas. [7] Sin embargo, la opinión general fue que esto simplemente mostraba la impracticabilidad de probar la conjetura de Taniyama-Shimura. [8] La reacción citada por el matemático John Coates fue común: [8]

"Yo mismo era muy escéptico de que el hermoso vínculo entre el último teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Shimura en realidad condujera a algo, porque debo confesar que no pensé que la conjetura de Taniyama-Shimura fuera accesible para demostrarlo. Hermoso aunque este problema era , parecía imposible de probar. Debo confesar que pensé que probablemente no lo vería probado en mi vida ".

Al enterarse de que Ribet había demostrado que el vínculo de Frey era correcto, el matemático inglés Andrew Wiles, quien tenía una fascinación infantil por el último teorema de Fermat y tenía experiencia en el trabajo con curvas elípticas y campos relacionados, decidió intentar probar la conjetura de Taniyama-Shimura como una forma de demostrar el último teorema de Fermat. En 1993, después de seis años de trabajar en secreto en el problema, Wiles logró demostrar lo suficiente de la conjetura para demostrar el último teorema de Fermat. El artículo de Wiles era enorme en tamaño y alcance. Se descubrió una falla en una parte de su artículo original durante la revisión por pares y requirió un año más y la colaboración de un ex alumno, Richard Taylor, para resolverla. Como resultado, la prueba final en 1995 fue acompañada por un documento conjunto más pequeño que mostraba que los pasos fijados eran válidos. El logro de Wiles se informó ampliamente en la prensa popular y se popularizó en libros y programas de televisión. Las partes restantes de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, ahora probada y conocida como el teorema de la modularidad, fueron probadas posteriormente por otros matemáticos, quienes se basaron en el trabajo de Wiles entre 1996 y 2001. [9] [10] [11] Para su demostración , Wiles fue honrado y recibió numerosos premios, incluido el Premio Abel 2016. [12] [13] [14]

Enunciados equivalentes del teorema Editar

Hay varias formas alternativas de enunciar el último teorema de Fermat que son matemáticamente equivalentes al enunciado original del problema.

Para enunciarlos usamos la notación matemática: dejemos norte ser el conjunto de números naturales 1, 2, 3,. dejar Z ser el conjunto de enteros 0, ± 1, ± 2,. y deja Q ser el conjunto de números racionales a/B , donde a y b están en Z con B ≠ 0. En lo que sigue llamaremos una solución a X norte + y norte = z norte donde uno o más de x, y o z es cero a solución trivial. Una solución donde los tres son distintos de cero se llamará no trivial solución.

En aras de la comparación, comenzamos con la formulación original.

  • Declaración original. Con n, x, y, z ∈ norte (significa que norte, X, y, z son todos números enteros positivos) y norte & gt 2, la ecuación Xnorte + ynorte = znorte no tiene soluciones.

Los tratamientos más populares del tema lo expresan de esta manera. También se dice comúnmente sobre Z : [15]

  • Declaración equivalente 1:Xnorte + ynorte = znorte , donde el número entero n ≥ 3, no tiene soluciones no triviales x, y, z ∈ Z .

La equivalencia es clara si n es par. Si n es impar y los tres X, y, z son negativos, entonces podemos reemplazar X, y, z con -X, −y, −z para obtener una solución en norte . Si dos de ellos son negativos, debe ser x y zo y y z. Si X, z son negativos ey es positivo, entonces podemos reorganizar para obtener (-z) norte + y norte = (−X) norte resultando en una solución en norte el otro caso se trata de forma análoga. Ahora bien, si solo uno es negativo, debe ser xoy. Si x es negativo ey y z son positivos, entonces se puede reorganizar para obtener (-X) norte + z norte = y norte de nuevo resultando en una solución en norte si y es negativo, el resultado sigue simétricamente. Así, en todos los casos, una solución no trivial en Z también significaría que existe una solución en norte , la formulación original del problema.

  • Declaración equivalente 2:Xnorte + ynorte = znorte , donde el número entero n ≥ 3, no tiene soluciones no triviales x, y, z ∈ Q .

Esto se debe a que el exponente de X, y, yz son iguales (an), por lo que si hay una solución en Q , luego se puede multiplicar por un denominador común apropiado para obtener una solución en Z , y por tanto en norte .

  • Declaración equivalente 3:Xnorte + ynorte = 1, donde el número entero n ≥ 3, no tiene soluciones no triviales x, y ∈ Q .

Una solución no trivial a, b, c ∈ Z para X norte + y norte = z norte produce la solución no trivial a/C , B/CQ por v norte + w norte = 1. Por el contrario, una solución a/B , C/DQ para v norte + w norte = 1 produce la solución no trivial anuncio, cb, bd por X norte + y norte = z norte .

Esta última formulación es particularmente fructífera, porque reduce el problema de un problema de superficies en tres dimensiones a un problema de curvas en dos dimensiones. Además, permite trabajar sobre el terreno Q , en lugar de sobre el anillo Z Los campos exhiben más estructura que los anillos, lo que permite un análisis más profundo de sus elementos.

  • Enunciado equivalente 4 - conexión a curvas elípticas: Si a, b, c es una solución no trivial para Xpag + ypag = zpag , p primo impar, entonces y2 = X(Xapag )(X + Bpag ) (Curva de Frey) será una curva elíptica. [dieciséis]

El examen de esta curva elíptica con el teorema de Ribet muestra que no tiene una forma modular. Sin embargo, la prueba de Andrew Wiles demuestra que cualquier ecuación de la forma y 2 = X(Xa norte )(X + B norte ) tiene una forma modular. Cualquier solución no trivial para X pag + y pag = z pag (con p un primo impar) crearía, por tanto, una contradicción, que a su vez prueba que no existen soluciones no triviales. [17]

En otras palabras, cualquier solución que pudiera contradecir el último teorema de Fermat también podría usarse para contradecir el teorema de modularidad. Entonces, si se determinara que el teorema de modularidad es cierto, se deduciría que tampoco podría existir ninguna contradicción con el último teorema de Fermat. Como se describió anteriormente, el descubrimiento de esta declaración equivalente fue crucial para la eventual solución del último teorema de Fermat, ya que proporcionó un medio por el cual podría ser "atacado" para todos los números a la vez.

Pitágoras y Diofanto editar

Triples pitagóricos Editar

En la antigüedad se sabía que un triángulo cuyos lados estaban en la proporción 3: 4: 5 tendría un ángulo recto como uno de sus ángulos. Esto se utilizó en la construcción y más tarde en la geometría temprana. También se sabía que era un ejemplo de una regla general de que cualquier triángulo donde la longitud de dos lados, cada uno al cuadrado y luego sumados (3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25), es igual al cuadrado de la longitud del tercer lado (5 2 = 25), también sería un triángulo rectángulo. Esto ahora se conoce como el teorema de Pitágoras, y un triple de números que cumple esta condición se llama triple de Pitágoras; ambos llevan el nombre del antiguo griego Pitágoras. Los ejemplos incluyen (3, 4, 5) y (5, 12, 13). Hay infinitos de tales triples, [18] y los métodos para generarlos se han estudiado en muchas culturas, comenzando con los babilonios [19] y más tarde con los antiguos matemáticos griegos, chinos e indios. [1] Matemáticamente, la definición de un triple pitagórico es un conjunto de tres enteros (a, B, C) que satisfacen la ecuación [20] a 2 + b 2 = c 2. < Displaystyle a ^ <2> + b ^ <2> = c ^ <2>.>

Ecuaciones diofánticas Editar

Ecuación de Fermat, X norte + y norte = z norte con soluciones enteras positivas, es un ejemplo de una ecuación diofántica, [21] llamada así por el matemático alejandrino del siglo III, Diofanto, quien las estudió y desarrolló métodos para la solución de algunos tipos de ecuaciones diofánticas. Un problema diofántico típico es encontrar dos números enteros X y y tal que su suma, y ​​la suma de sus cuadrados, sea igual a dos números dados A y B, respectivamente:

El trabajo principal de Diofanto es el Arithmetica, de los cuales solo ha sobrevivido una parte. [22] La conjetura de Fermat de su último teorema se inspiró al leer una nueva edición del Arithmetica, [23] que fue traducido al latín y publicado en 1621 por Claude Bachet. [24]

Las ecuaciones diofánticas se han estudiado durante miles de años. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación diofántica cuadrática X 2 + y 2 = z 2 están dados por los triples pitagóricos, originalmente resueltos por los babilonios (c. 1800 aC). [25] Soluciones para ecuaciones diofánticas lineales, como 26X + 65y = 13, se puede encontrar utilizando el algoritmo euclidiano (c. Siglo V a. C.). [26] Muchas ecuaciones diofánticas tienen una forma similar a la ecuación del último teorema de Fermat desde el punto de vista del álgebra, ya que no tienen términos cruzados mezclando dos letras, sin compartir sus propiedades particulares. Por ejemplo, se sabe que hay infinitos números enteros positivos X, y, y z tal que X norte + y norte = z metro dónde norte y metro son números naturales relativamente primos. [nota 2]

Conjetura de Fermat Editar

Problema II.8 del Arithmetica pregunta cómo un número cuadrado dado se divide en otros dos cuadrados en otras palabras, para un número racional dado k, encuentra números racionales tu y v tal que k 2 = tu 2 + v 2. Diofanto muestra cómo resolver este problema de suma de cuadrados para k = 4 (las soluciones son tu = 16/5 y v = 12/5). [27]

Alrededor de 1637, Fermat escribió su último teorema al margen de su copia del Arithmetica junto al problema de suma de cuadrados de Diofanto: [28]

Cubum autem en dúos cubos, aut quadratoquadratum en dúos quadratoquadratos & amp generaliter nullam en infinitum ultra quadratum potestatem en dúos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demostrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general, cualquier potencia superior a la segunda, en dos potencias iguales.He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener. [29] [30]

Después de la muerte de Fermat en 1665, su hijo Clément-Samuel Fermat produjo una nueva edición del libro (1670) aumentada con los comentarios de su padre. [31] Aunque en realidad no era un teorema en ese momento (es decir, una declaración matemática para la cual existe prueba), la nota al margen se conoció con el tiempo como El último teorema de Fermat, [32] ya que fue el último de los teoremas afirmados de Fermat que quedó sin demostrar. [33]

No se sabe si Fermat había encontrado una prueba válida para todos los exponentes. norte, pero parece poco probable. Solo ha sobrevivido una prueba relacionada con él, a saber, para el caso norte = 4, como se describe en la sección Pruebas de exponentes específicos. Mientras Fermat planteaba los casos de norte = 4 y de norte = 3 como desafíos a sus corresponsales matemáticos, como Marin Mersenne, Blaise Pascal y John Wallis, [34] nunca planteó el caso general. [35] Además, en los últimos treinta años de su vida, Fermat nunca volvió a escribir sobre su "prueba verdaderamente maravillosa" del caso general, y nunca la publicó. Van der Poorten [36] sugiere que si bien la ausencia de una prueba es insignificante, la falta de impugnaciones significa que Fermat se dio cuenta de que no tenía una prueba. Cita a Weil [37] diciendo que Fermat debe haberse engañado brevemente con una idea irrecuperable.

Se desconocen las técnicas que Fermat pudo haber utilizado en tan "maravillosa prueba".

La prueba de Taylor y Wiles se basa en técnicas del siglo XX. [38] La demostración de Fermat habría tenido que ser elemental en comparación, dado el conocimiento matemático de su época.

Si bien la gran conjetura de Harvey Friedman implica que cualquier teorema demostrable (incluido el último teorema de Fermat) puede demostrarse utilizando solo la 'aritmética de función elemental', tal demostración debe ser 'elemental' solo en un sentido técnico y podría involucrar millones de pasos, y por lo tanto ser demasiado tiempo para haber sido la prueba de Fermat.

Pruebas para exponentes específicos Editar

Exponente = 4 Editar

Solo ha sobrevivido una prueba relevante de Fermat, en la que usa la técnica del descenso infinito para demostrar que el área de un triángulo rectángulo con lados enteros nunca puede ser igual al cuadrado de un número entero. [39] [40] Su demostración es equivalente a demostrar que la ecuación

no tiene soluciones primitivas en números enteros (no hay soluciones coprimas por pares). A su vez, esto prueba el último teorema de Fermat para el caso norte = 4, ya que la ecuación a 4 + B 4 = C 4 se puede escribir como C 4 − B 4 = (a 2 ) 2 .

Pruebas alternativas del caso norte = 4 fueron desarrollados más tarde [41] por Frénicle de Bessy (1676), [42] Leonhard Euler (1738), [43] Kausler (1802), [44] Peter Barlow (1811), [45] Adrien-Marie Legendre ( 1830), [46] Schopis (1825), [47] Olry Terquem (1846), [48] Joseph Bertrand (1851), [49] Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), [50] Théophile Pépin (1883) , [51] Tafelmacher (1893), [52] David Hilbert (1897), [53] Bendz (1901), [54] Gambioli (1901), [55] Leopold Kronecker (1901), [56] Bang (1905) , [57] Sommer (1907), [58] Bottari (1908), [59] Karel Rychlík (1910), [60] Nutzhorn (1912), [61] Robert Carmichael (1913), [62] Hancock (1931) , [63] Gheorghe Vrănceanu (1966), [64] Grant y Perella (1999), [65] Barbara (2007), [66] y Dolan (2011). [67]

Otros exponentes Editar

Después de que Fermat probara el caso especial norte = 4, la prueba general para todos norte sólo requería que se estableciera el teorema para todos los exponentes primos impares. [68] En otras palabras, era necesario probar solo que la ecuación a norte + B norte = C norte no tiene soluciones enteras positivas (a, B, C) cuando norte es un número primo impar. Esto se sigue porque una solución (a, B, C) para una dada norte es equivalente a una solución para todos los factores de norte. Por ejemplo, deje norte ser factorizado en D y mi, norte = Delaware. La ecuación general

a norte + B norte = C norte

implica que (a D , B D , C D ) es una solución para el exponente mi

(a D ) mi + (B D ) mi = (C D ) mi .

Por tanto, para demostrar que la ecuación de Fermat no tiene soluciones para norte & gt 2, bastaría con demostrar que no tiene soluciones para al menos un factor primo de cada norte. Cada entero norte & gt 2 es divisible por 4 o por un número primo impar (o ambos). Por lo tanto, el último teorema de Fermat podría probarse para todos norte si pudiera probarse norte = 4 y para todos los primos impares pag.

En los dos siglos siguientes a su conjetura (1637-1839), el último teorema de Fermat fue probado para tres exponentes primos impares. pag = 3, 5 y 7. El caso pag = 3 fue establecido por primera vez por Abu-Mahmud Khojandi (siglo X), pero su intento de demostración del teorema fue incorrecto. [69] En 1770, Leonhard Euler dio una prueba de pag = 3, [70] pero su prueba por descenso infinito [71] contenía una brecha importante. [72] Sin embargo, dado que el propio Euler había demostrado el lema necesario para completar la prueba en otro trabajo, generalmente se le atribuye la primera prueba. [73] Las pruebas independientes fueron publicadas [74] por Kausler (1802), [44] Legendre (1823, 1830), [46] [75] Calzolari (1855), [76] Gabriel Lamé (1865), [77] Peter Guthrie Tait (1872), [78] Günther (1878), [79] [ se necesita una cita completa ] Gambioli (1901), [55] Krey (1909), [80] [ se necesita una cita completa ] Rychlík (1910), [60] Stockhaus (1910), [81] Carmichael (1915), [82] Johannes van der Corput (1915), [83] Axel Thue (1917), [84] [ se necesita una cita completa ] y Duarte (1944). [85]

El caso pag = 5 fue probado [86] independientemente por Legendre y Peter Gustav Lejeune Dirichlet alrededor de 1825. [87] Las pruebas alternativas fueron desarrolladas [88] por Carl Friedrich Gauss (1875, póstumo), [89] Lebesgue (1843), [90] Lamé (1847), [91] Gambioli (1901), [55] [92] Werebrusow (1905), [93] [ se necesita una cita completa ] Rychlík (1910), [94] [ dudoso - discutir ] [ se necesita una cita completa ] van der Corput (1915), [83] y Guy Terjanian (1987). [95]

El caso pag = 7 fue probado [96] por Lamé en 1839. [97] Su demostración bastante complicada fue simplificada en 1840 por Lebesgue, [98] y pruebas aún más simples [99] fueron publicadas por Angelo Genocchi en 1864, 1874 y 1876. [100 ] Théophile Pépin (1876) [101] y Edmond Maillet (1897) desarrollaron pruebas alternativas. [102]

El último teorema de Fermat también se demostró para los exponentes norte = 6, 10 y 14. Pruebas de norte = 6 fueron publicados por Kausler, [44] Thue, [103] Tafelmacher, [104] Lind, [105] Kapferer, [106] Swift, [107] y Breusch. [108] De manera similar, Dirichlet [109] y Terjanian [110] probaron el caso cada uno. norte = 14, mientras que Kapferer [106] y Breusch [108] probaron el caso cada uno norte = 10. Estrictamente hablando, estas pruebas son innecesarias, ya que estos casos se derivan de las pruebas para norte = 3, 5 y 7, respectivamente. Sin embargo, el razonamiento de estas pruebas de exponentes pares difiere de sus contrapartes de exponentes impares. La prueba de Dirichlet para norte = 14 fue publicado en 1832, antes de la prueba de 1839 de Lamé para norte = 7. [111]

Todas las pruebas para exponentes específicos utilizaron la técnica de descenso infinito de Fermat, [ cita necesaria ] ya sea en su forma original, o en forma de descenso en curvas elípticas o variedades abelianas. Los detalles y argumentos auxiliares, sin embargo, fueron a menudo ad hoc y vinculado al exponente individual en consideración. [112] Dado que se volvieron cada vez más complicados como pag aumentado, parecía poco probable que el caso general del último teorema de Fermat pudiera probarse basándose en las pruebas de los exponentes individuales. [112] Aunque algunos resultados generales sobre el último teorema de Fermat fueron publicados a principios del siglo XIX por Niels Henrik Abel y Peter Barlow, [113] [114] el primer trabajo significativo sobre el teorema general fue realizado por Sophie Germain. [115]

Primeros avances modernos Editar

Sophie Germain Modificar

Ernst Kummer y la teoría de los ideales Editar

En 1847, Gabriel Lamé esbozó una prueba del último teorema de Fermat basada en factorizar la ecuación X pag + y pag = z pag en números complejos, específicamente el campo ciclotómico basado en las raíces del número 1. Sin embargo, su demostración falló porque asumió incorrectamente que tales números complejos pueden factorizarse únicamente en números primos, similares a los números enteros. Esta brecha fue señalada inmediatamente por Joseph Liouville, quien más tarde leyó un artículo que demostró este fracaso de la factorización única, escrito por Ernst Kummer.

Kummer se propuso la tarea de determinar si el campo ciclotómico podría generalizarse para incluir nuevos números primos de modo que se restableciera la factorización única. Logró esa tarea desarrollando los números ideales.

(Nota: A menudo se afirma que Kummer fue llevado a sus "números complejos ideales" por su interés en el último teorema de Fermat; incluso hay una historia que se cuenta a menudo que Kummer, como Lamé, creía que había probado el último teorema de Fermat hasta que Lejeune Dirichlet le dijo su argumento se basó en la factorización única, pero la historia fue contada por primera vez por Kurt Hensel en 1910 y la evidencia indica que probablemente se deriva de una confusión de una de las fuentes de Hensel. Harold Edwards dice que la creencia de que Kummer estaba principalmente interesado en el último teorema de Fermat "es seguramente equivocado ". [120] Consulte la historia de los números ideales).

Utilizando el enfoque general delineado por Lamé, Kummer probó ambos casos del último teorema de Fermat para todos los números primos regulares. Sin embargo, no pudo probar el teorema de los primos excepcionales (primos irregulares) que conjeturalmente ocurren aproximadamente el 39% de las veces, los únicos primos irregulares por debajo de 270 son 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 y 263.

Conjetura de Mordell editar

En la década de 1920, Louis Mordell planteó una conjetura que implicaba que la ecuación de Fermat tiene como máximo un número finito de soluciones enteras primitivas no triviales, si el exponente norte es mayor que dos. [121] Esta conjetura fue probada en 1983 por Gerd Faltings, [122] y ahora se conoce como teorema de Faltings.

Estudios computacionales Editar

En la segunda mitad del siglo XX, se utilizaron métodos computacionales para extender el enfoque de Kummer a los números primos irregulares. En 1954, Harry Vandiver usó una computadora SWAC para probar el último teorema de Fermat para todos los números primos hasta 2521. [123] En 1978, Samuel Wagstaff había extendido esto a todos los números primos menores a 125,000. [124] En 1993, el último teorema de Fermat había sido probado para todos los números primos inferiores a cuatro millones. [125]

Sin embargo, a pesar de estos esfuerzos y sus resultados, no existía ninguna prueba del último teorema de Fermat. Las pruebas de exponentes individuales por su naturaleza nunca podrían probar la general caso: incluso si todos los exponentes se verificaran hasta un número X extremadamente grande, aún podría existir un exponente más alto más allá de X para el cual la afirmación no fuera cierta. (Este había sido el caso con algunas otras conjeturas pasadas, y no podía descartarse en esta conjetura). [126]

Conexión con curvas elípticas Editar

La estrategia que finalmente condujo a una prueba exitosa del último teorema de Fermat surgió de la conjetura "asombrosa" [127]: 211 de Taniyama-Shimura-Weil, propuesta alrededor de 1955, que muchos matemáticos creían que sería casi imposible de probar, [127] : 223 y fue vinculado en la década de 1980 por Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre y Ken Ribet a la ecuación de Fermat. Al realizar una prueba parcial de esta conjetura en 1994, Andrew Wiles finalmente logró probar el último teorema de Fermat, además de abrir el camino hacia una prueba completa por parte de otros de lo que ahora se conoce como el teorema de la modularidad.

Conjetura de Taniyama – Shimura – Weil Editar

Alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama observaron un posible vínculo entre dos ramas aparentemente completamente distintas de las matemáticas, las curvas elípticas y las formas modulares. El teorema de modularidad resultante (en ese momento conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura) establece que cada curva elíptica es modular, lo que significa que puede asociarse con una forma modular única.

El vínculo se descartó inicialmente como improbable o altamente especulativo, pero se tomó más en serio cuando el teórico de los números André Weil encontró evidencia que lo apoyaba, aunque sin probarlo como resultado, la conjetura a menudo se conocía como la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. [127]: 211–215

Incluso después de recibir una atención seria, los matemáticos contemporáneos consideraron la conjetura como extraordinariamente difícil o quizás inaccesible a la prueba. [127]: 203-205, 223, 226 Por ejemplo, el supervisor de doctorado de Wiles, John Coates, afirma que parecía "imposible de probar realmente", [127]: 226 y Ken Ribet se consideraba a sí mismo "una de la gran mayoría de las personas que creían [fue] completamente inaccesible ", y agregó que" Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la tierra que tuvo la audacia de soñar que realmente puedes ir y probarlo ". [127]: 223

Teorema de Ribet para curvas de Frey Editar

En 1984, Gerhard Frey notó un vínculo entre la ecuación de Fermat y el teorema de modularidad, que seguía siendo una conjetura. Si la ecuación de Fermat tuviera alguna solución (a, B, C) para exponente pag & gt 2, entonces se podría demostrar que la curva elíptica semi-estable (ahora conocida como Frey-Hellegouarch [nota 3])

y 2 = X (Xa pag )(X + B pag )

tendría propiedades tan inusuales que era poco probable que fuera modular. [128] Esto entraría en conflicto con el teorema de modularidad, que afirmaba que todas las curvas elípticas son modulares. Como tal, Frey observó que una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil también podría probar simultáneamente el último teorema de Fermat. [129] Por contraposición, un refutación o la refutación del último teorema de Fermat refutaría la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.

En un lenguaje sencillo, Frey había demostrado que, si esta intuición sobre su ecuación era correcta, entonces cualquier conjunto de 4 números (a, b, c, n) capaces de refutar el último teorema de Fermat, también podría usarse para refutar el Taniyama-Shimura. –Conjetura de Weil. Por lo tanto, si lo último fuera cierto, lo primero no podría refutarse y también tendría que ser cierto.

Siguiendo esta estrategia, una demostración del último teorema de Fermat requirió dos pasos. Primero, era necesario probar el teorema de la modularidad, o al menos probarlo para los tipos de curvas elípticas que incluían la ecuación de Frey (conocidas como curvas elípticas semiestables). Esto fue ampliamente creído inaccesible a la prueba por los matemáticos contemporáneos. [127]: 203-205, 223, 226 En segundo lugar, era necesario demostrar que la intuición de Frey era correcta: que si se construía una curva elíptica de esta manera, utilizando un conjunto de números que eran una solución de la ecuación de Fermat, el resultado La curva elíptica no puede ser modular. Frey demostró que esto era plausible pero no llegó a dar una prueba completa. La pieza faltante (la llamada "conjetura épsilon", ahora conocida como teorema de Ribet) fue identificada por Jean-Pierre Serre quien también dio una prueba casi completa y el vínculo sugerido por Frey fue finalmente probado en 1986 por Ken Ribet. [130]

Siguiendo el trabajo de Frey, Serre y Ribet, aquí era donde estaban las cosas:

  • El último teorema de Fermat necesitaba ser probado para todos los exponentes. norte que eran números primos.
  • El teorema de modularidad, si se demuestra para curvas elípticas semiestables, significaría que todas las curvas elípticas semiestables debe ser modular.
  • El teorema de Ribet mostró que cualquier solución a la ecuación de Fermat para un número primo podría usarse para crear una curva elíptica semiestable que no pude ser modular
  • La única forma en que ambas afirmaciones podrían ser ciertas, era si no existían soluciones para la ecuación de Fermat (porque entonces no se podía crear tal curva), que era lo que decía el último teorema de Fermat. Como ya se demostró el teorema de Ribet, esto significaba que una prueba del teorema de modularidad demostraría automáticamente que el último teorema de Fermat también era cierto.

Prueba general de Wiles Editar

La prueba de Ribet de la conjetura épsilon en 1986 logró el primero de los dos objetivos propuestos por Frey. Al enterarse del éxito de Ribet, Andrew Wiles, un matemático inglés con una fascinación infantil por el último teorema de Fermat, y que había trabajado en curvas elípticas, decidió comprometerse a lograr la segunda mitad: demostrar un caso especial del teorema de modularidad (entonces conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura) para curvas elípticas semiestables. [131]

Wiles trabajó en esa tarea durante seis años en casi total secreto, encubriendo sus esfuerzos al publicar trabajos anteriores en pequeños segmentos como documentos separados y confiando solo en su esposa. [127]: 229-230 Su estudio inicial sugirió la prueba por inducción, [127]: 230-232, 249-252 y basó su trabajo inicial y el primer avance significativo en la teoría de Galois [127]: 251-253, 259 antes de cambiar a un intento de extender la teoría horizontal de Iwasawa para el argumento inductivo alrededor de 1990-1991, cuando parecía que no existía un enfoque adecuado al problema. [127]: 258-259 Sin embargo, a mediados de 1991, la teoría de Iwasawa tampoco parecía estar llegando a los temas centrales del problema. [127]: 259-260 [132] En respuesta, se acercó a sus colegas para buscar pistas de investigación de vanguardia y nuevas técnicas, y descubrió un sistema Euler desarrollado recientemente por Victor Kolyvagin y Matthias Flach que parecía "hecho a medida" para la parte inductiva de su prueba. [127]: 260-261 Wiles estudió y amplió este enfoque, que funcionó. Dado que su trabajo se basaba en gran medida en este enfoque, que era nuevo para las matemáticas y para Wiles, en enero de 1993 le pidió a su colega de Princeton, Nick Katz, que lo ayudara a verificar su razonamiento en busca de errores sutiles. Su conclusión en ese momento fue que las técnicas que usó Wiles parecían funcionar correctamente. [127]: 261–265 [133]

A mediados de mayo de 1993, Wiles se sintió capaz de decirle a su esposa que pensaba que había resuelto la prueba del último teorema de Fermat, [127]: 265 y para junio se sintió lo suficientemente seguro para presentar sus resultados en tres conferencias dictadas el 21 y 23 de junio. 1993 en el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas. [134] Específicamente, Wiles presentó su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables junto con la prueba de Ribet de la conjetura épsilon, esto implicaba el último teorema de Fermat.Sin embargo, se hizo evidente durante la revisión por pares que un punto crítico en la prueba era incorrecto. Contenía un error en un límite en el orden de un grupo en particular. El error fue detectado por varios matemáticos que arbitraron el manuscrito de Wiles, incluido Katz (en su papel de revisor), [135] quien alertó a Wiles el 23 de agosto de 1993 [136].

El error no habría dejado su trabajo sin valor: cada parte del trabajo de Wiles fue muy significativa e innovadora por sí misma, al igual que los muchos desarrollos y técnicas que había creado en el curso de su trabajo, y solo una parte se vio afectada. [127]: 289, 296–297 Sin embargo, sin esta parte probada, no había prueba real del último teorema de Fermat. Wiles pasó casi un año tratando de reparar su prueba, inicialmente solo y luego en colaboración con su ex alumno Richard Taylor, sin éxito. [137] [138] [139] A fines de 1993, se habían difundido rumores de que, bajo escrutinio, la prueba de Wiles había fallado, pero no se sabía con qué gravedad. Los matemáticos estaban comenzando a presionar a Wiles para que revelara su trabajo, ya estuviera completo o no, para que la comunidad en general pudiera explorar y usar todo lo que había logrado. Pero en lugar de solucionarse, el problema, que originalmente parecía menor, ahora parecía muy importante, mucho más grave y menos fácil de resolver. [140]

Wiles afirma que en la mañana del 19 de septiembre de 1994 estuvo a punto de darse por vencido y estuvo casi resignado a aceptar que había fracasado y a publicar su trabajo para que otros pudieran construir sobre él y corregir el error. Agrega que estaba teniendo una última mirada para tratar de comprender las razones fundamentales por las que su enfoque no podía funcionar, cuando tuvo una idea repentina: que la razón específica por la que el enfoque de Kolyvagin-Flach no funcionaría directamente. además significaba que sus intentos originales de usar la teoría de Iwasawa podrían funcionar, si la fortalecía usando su experiencia obtenida con el enfoque de Kolyvagin-Flach. Arreglar un enfoque con herramientas del otro enfoque resolvería el problema para todos los casos que aún no fueron probados por su artículo arbitrado. [137] [141] Describió más tarde que la teoría de Iwasawa y el enfoque de Kolyvagin-Flach eran inadecuados por sí mismos, pero juntos podrían hacerse lo suficientemente poderosos para superar este obstáculo final. [137]

"Estaba sentado en mi escritorio examinando el método Kolyvagin-Flach. No es que creyera que podría hacerlo funcionar, pero pensé que al menos podría explicar por qué no funcionó. De repente tuve esta increíble revelación. Me di cuenta de que el método Kolyvagin-Flach no estaba funcionando, pero era todo lo que necesitaba para hacer que mi teoría original de Iwasawa funcionara tres años antes. Así que de las cenizas de Kolyvagin-Flach pareció surgir la verdadera respuesta al problema . Era tan indescriptiblemente hermoso, era tan simple y tan elegante. No podía entender cómo me lo había perdido y me quedé mirándolo con incredulidad durante veinte minutos. Luego, durante el día, caminé por el departamento, y ' Seguía volviendo a mi escritorio para ver si todavía estaba allí. Todavía estaba allí. No podía contenerme, estaba tan emocionado. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que vuelva a hacer lo hará significa tanto ". - Andrew Wiles, citado por Simon Singh [142]

El 24 de octubre de 1994, Wiles presentó dos manuscritos, "Curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat" [143] [144] y "Propiedades teóricas del anillo de ciertas álgebras de Hecke", [145] el segundo de los cuales fue coautor con Taylor y demostró que se cumplían ciertas condiciones que eran necesarias para justificar el paso corregido en el documento principal. Los dos artículos fueron examinados y publicados como la totalidad del número de mayo de 1995 de la Anales de Matemáticas. Estos artículos establecieron el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, el último paso para demostrar el último teorema de Fermat, 358 años después de su conjetura.

Desarrollos posteriores Editar

La conjetura completa de Taniyama-Shimura-Weil fue finalmente probada por Diamond (1996), [9] Conrad et al. (1999), [10] y Breuil et al. (2001) [11] quien, basándose en el trabajo de Wiles, fue reduciendo gradualmente los casos restantes hasta que se probó el resultado completo. La conjetura ahora plenamente probada se conoció como el teorema de la modularidad.

Varios otros teoremas de la teoría de números similares al último teorema de Fermat también se siguen del mismo razonamiento, utilizando el teorema de modularidad. Por ejemplo: ningún cubo se puede escribir como una suma de dos coprime norte-ésimos poderes, norte ≥ 3. (El caso norte = 3 ya lo conocía Euler.)

El último teorema de Fermat considera soluciones a la ecuación de Fermat: a norte + B norte = C norte con enteros positivos a , B , y C y un entero norte mayor que 2. Hay varias generalizaciones de la ecuación de Fermat a ecuaciones más generales que permiten que el exponente norte ser un entero negativo o racional, o considerar tres exponentes diferentes.

Ecuación de Fermat generalizada Editar

La ecuación de Fermat generalizada generaliza el enunciado del último teorema de Fermat considerando soluciones enteras positivas a, b, c, m, n, k satisfactorio [146]


Notas

Una breve reseña del libro The Modulor se puede encontrar en Ostwald (2001), el relato sobre el desarrollo del Modulor se da en Matteoni (1986).

Para una de las primeras discusiones, véase Pevsner (1957).

La secuencia (2.1) - (2.2) se puede encontrar en Le Corbusier (2000: I, 51) Secuencia (2.3) - (2.4) en Le Corbusier (2000: I, 67) Secuencia (2.5) - (2.6) en Le Modulor étude 1945, Documento 32285, Secuencia FLC (2.7) - (2.8) en Documento 21007, FLC.

Sustituir (a_n =) en un_= a_+ a_) para obtener (<>>=<>>+<>> ). Divide ambos lados por (> ) para obtener la ecuación cuadrática (q ^ 2 = q + 1 ), que tiene dos raíces irracionales (q = <(1 mp sqrt <5>)> / <2> ). Por lo tanto, si una progresión geométrica tiene la propiedad de recursividad de Fibonacci, la razón común es necesariamente (q = <(1 mp sqrt <5>)> / <2> ). Siguiendo el argumento en sentido contrario, está claro que esta condición también es suficiente.

Véase también esta observación en Evans (1995: 275).

Evans (1995: 395, observación 7) menciona que duplicar las series fue idea de Le Corbusier, mientras que la introducción de los números de Fibonacci podría ser la contribución de Jerzy Soltan.

Vea esta observación también en Tell (2019: 32, 34).

Véase Fischler (1979) sobre las relaciones de Le Corbusier con la proporción áurea.

Evans (1995: 279) afirma que estas instrucciones en sí mismas contienen una contradicción matemática, pero este no es el caso. Como veremos a continuación, existe una solución a este problema. Los errores se cometieron en las soluciones propuestas.

Véase también esta observación en Linton (2004: 56). Mi enfoque en esta sección tiene muchos puntos en común con un análisis geométrico cuidadoso de Linton y estoy de acuerdo con la mayoría de sus declaraciones excluyendo algunas observaciones que menciono más adelante en el texto.

Véase Linton (2004: 62) que proporciona otra prueba y hace un comentario sobre la prueba proporcionada aquí.

Usamos el siguiente enunciado: supongamos que ( angle B ) es el ángulo recto de un triángulo rectángulo A B C inscrito en un círculo. Luego C.A. es un diámetro de este círculo.

Conjeturo que este desajuste entre el problema y las soluciones es el resultado de la negación de Le Corbusier del verdadero alcance de un independiente investigación de los fundamentos de las normas por parte de su asistente. Véase también Loach (1998: 207).

Linton (2004: 59–63) investiga tres diagramas y atribuye el último a Taton. Sin embargo, dudo que el matemático haya creado un diagrama propio; simplemente puede proporcionar una explicación del diagrama de Maillard y Le Corbusier.

Véase también Fischler (1979: 100). La fraseología de la cita de André Wogenscky también podría ser una evidencia implícita: `` La investigación se reanudó a un ritmo rápido después de la Segunda Guerra Mundial, y fue en este momento que, con la ayuda de colaboradores y como resultado de una labor lenta, tentativa proceso, se abandonó la cuadrícula del lugar de trabajo y se inventó el Modulor '(Wogenscky 1987: 124). Según Soltan (1987: 2), Gerald Hanning abandonó el taller por esta época en 1945, y esa podría ser una de las razones por las que se abandonó la geometría por la nueva dirección hacia las escalas antropomórficas.

La primera propuesta de Hanning en su carta del 25 de agosto de 1943 (FLC B317) parece contener un error similar dentro de su propio diagrama: un ángulo inscrito se marca erróneamente como ángulo recto. Esto indica que el descubrimiento de Hanning de los defectos de ambos diagramas no fue inmediato.

Para los detalles sobre el mito de la proporción áurea, remito al lector a estos textos escritos por historiadores del arte y matemáticos: Gamwell (2015), Gardner (1994), Frascari y Volpi Ghirardini (2015), Herz-Fischler (2005), Frings (2002). ) y Markowsky (1992).


Van Ceulen

Ludolf van Ceulen (1540-1610) nació en Hildesheim, Alemania, en una familia numerosa que no era particularmente rica. En consecuencia, Van Ceulen recibió solo una educación primaria y no sabía leer latín ni griego, los idiomas en los que se publicaron la mayoría de los textos matemáticos (O'Connor y Robertson, 2009). Cuando era joven y tenía un gran interés en las matemáticas, confiaba en sus amigos para que le tradujeran textos importantes.

Ludolf van Ceulen, Ludolphi à Ceulen de circulo et adscriptis liber & # 8230. Omnia é vernaculo latina fecit, et annotationibus illustravit Willebrordus Snellius (Leiden, 1619), retrato de la página de título.

Hubo muchas aproximaciones de π antes de Van Ceulen (incluidas las atribuidas a Ptolomeo, Al-Khwārizmī y Fibonacci) pero fue Arquímedes quien tuvo una gran influencia en el trabajo y los hallazgos de Van Ceulen. Arquímedes publicó el primer cálculo teórico de π alrededor del 250 a. C. que encontró usando un polígono regular de 96 lados (Vajta 2000). Van Ceulen estaba obsesionado con el trabajo de Arquímedes y cuando finalmente un amigo se lo tradujo, Van Ceulen se inspiró para pasar el resto de su vida buscando una mejor aproximación de π utilizando el método de Arquímedes (O'Connor y Robertson, 2009). En el momento de su muerte, Van Ceulen había determinado π a 35 lugares de decimales y, como señala Vajta, los alemanes quedaron tan impresionados por el logro de Van Ceulen que comenzaron a llamar [π] el número de Ludolph. 8217 (Vajta)

Debido a su falta de latín, no pudo publicar ningún hallazgo nuevo por sí mismo, por lo que se centró en revisar y criticar el trabajo de otros, lo que resultó en una serie de disputas matemáticas. William Goudaan, un maestro de Haarlem, planteó un problema geométrico que Van Ceulen resolvió, pero Goudaan no aceptó su solución y publicó sus propios hallazgos. Van Ceulen se dio cuenta de que estos hallazgos eran incorrectos y, por lo tanto, en 1584 publicó su propia versión de la disputa (O'Connor y Robertson, 2009).

Cuando Simon van der Eycke (1584-1603) publicó una prueba incorrecta de la cuadratura del círculo en 1584, Van Ceulen publicó dos publicaciones destacando el error de Van Der Eycke. Posteriormente, mientras Van Ceulen enseñaba en Leiden, un destacado profesor publicó un trabajo en el que afirmaba que π era igual a . Van Ceulen sabía que esto era incorrecto y cuando se acercó al profesor, Van Ceulen fue desafiado a poner sus objeciones por escrito. Sin embargo, no pudo participar en esta disputa, su incapacidad para escribir en latín le prohibió participar en los términos habituales (O'Connor, J y Robertson, E.F, 2009).

El alumno más famoso de Van Ceulen fue Willebrord Snell (1580-1626), quien tradujo dos de las obras de Van Ceulen al latín después de su muerte (biography.com, 2008). Esto los hizo más accesibles para los matemáticos de todo el mundo.

Ludolf van Ceulen, Ludolphi à Ceulen de circulo et adscriptis liber & # 8230. Omnia é vernaculo latina fecit, et annotationibus illustravit Willebrordus Snellius (Leiden, 1619), pág. 6.

Arriba se muestra un diagrama de un círculo con un triángulo equilátero inscrito y un pentágono regular junto con algunas construcciones que generan polígonos regulares con más de 5 lados. Observe las raíces cuadradas escritas a mano a lo largo de algunos de los lados que indican las longitudes necesarias para la construcción.

En la siguiente tabla, Van Ceulen enumera algunas longitudes de interés nuevamente usando raíces cuadradas. Específicamente, comienza con un triángulo equilátero que tiene tres lados y cada vez calcula la longitud de un lado de un polígono regular con el doble de lados que el anterior.

Ludolf van Ceulen, Ludolphi à Ceulen de circulo et adscriptis liber & # 8230. Omnia é vernaculo latina fecit, et annotationibus illustravit Willebrordus Snellius (Leiden, 1619), pág. 22.

La siguiente tabla muestra un cálculo similar en el que Van Ceulen ha utilizado un círculo con un diámetro muy grande (200000000000000) y dado la longitud de un lado de cada polígono regular inscrito. Por ejemplo, un hexágono inscrito (seis lados) tiene una longitud de lado exactamente la mitad del diámetro del círculo.

Ludolf van Ceulen, Ludolphi à Ceulen de circulo et adscriptis liber & # 8230. Omnia é vernaculo latina fecit, et annotationibus illustravit Willebrordus Snellius (Leiden, 1619), pág. 48.

Van Ceulen murió el 31 de diciembre de 1610 y fue enterrado en la iglesia de San Pedro en Leiden. Sus aproximaciones para π fueron grabadas en su lápida original que desapareció (Vajta 2000). Hoy en día, una versión moderna se encuentra en la iglesia de San Pedro y está tallada en su lápida con su límite inferior de 3.14159265558979323846264338327950288 y su límite superior de 3.14159265558979323846264338327950289, esto honra su contribución a la mejora de la precisión de la geometría y trigonometría (2009). y también aparece en la portada de Worth & # 8217s copia de Ludolphi à Ceulen De circulo et adscriptis liber.

Vajta, M., Transformada de Fourier y Ludolph van Ceulen, Universidad de Twente (Países Bajos).

O'Connor, J. J. y E. F. Robertson, Ludolf van Ceulen, MacTutor Historia de las matemáticas (Universidad de St Andrews, 2009).


Palabras clave

Oaks es responsable del contenido de este artículo y Alkhateeb de las traducciones del árabe. Los autores expresan su agradecimiento a Barnabas Hughes y a un árbitro anónimo por sus reflexivos comentarios sobre una versión anterior de este artículo.

Notas generales. Notación para referencias a al-Khwārizmī: R 3/210, M & ampA 161 significa Rosen & # x27s edition [al-Khwārizmī, The Algebra of Mohammed ben Musa, Oriental Translation Fund, Londres, 1831], traducción al inglés página 3, texto árabe página 2 , línea 10, y Musharrafa & # x27s y Aḥmad & # x27s edición árabe [al-Khwārizmī, Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa & # x27l-muqābala, editado por 'Alī Muṣṭafā Musharrafa y Muḥammad, página de Mursī Aḥ39] 16, línea 1. Referencias a Abū Kāmil: A 937, L 2576, H 15813 significa texto árabe [Abū Kāmil, Kitāb fī al-jabr wa & # x27l-muqābala, Instituto de Historia de la Ciencia Árabe-Islámica, Fráncfort del Meno, 1986] página 93, línea 7, texto latino [Sesiano, La version latine médiévale de l & # x27algèbre d & # x27Abū Kāmil, Rodopi, Amsterdam, 1993, pp. 315-452] línea 2576, y edición hebrea [Levey, The Algebra of Abū Kāmil: Kitāb fī al-jābr wa'l-muqābala en un comentario de Mordecai Finzi. University of Wisconsin, Madison, 1966] página 158, línea 13 de la traducción al inglés. Referencias a Ibn Badr: IB 52/3619 se refiere a [Sánchez Pérez, Compendio de Álgebra de Abenbéder, Impr. Ibérica, Madrid, 1916], traducción al español página 52, texto árabe página 36, ​​línea 19. Un punto y coma separa el número de página del número de línea en otras referencias también. El número de línea indica el comienzo del pasaje referido, que puede abarcar varias líneas. En los textos en los que las líneas ya están numeradas, las cedemos. Traducciones. Debido a que Rosen y Levey malinterpretaron el significado de muchas palabras, sentimos la necesidad de producir nuevas traducciones directamente del árabe. Para al-Khwārizmī usamos principalmente la edición Musharrafa & # x27s y Aḥmad & # x27s, pero también con la vista puesta en la edición Rosen & # x27s y las traducciones latinas. También traducimos Ibn Badr del árabe.